Упр.12.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) y=2x+1, x=1, x=0, y=0;
2) y=x^2+1, x=1, x=2, y=0;
3) y=vx, x=1, x=4, y=0;
4) y=x^2, y=x;
5) y=1/x, y=0, x=1/2, x=2, y=x.

Подробный ответ

$$y=2x+1,\quad x=1,\quad x=0,\quad y=0.$$
При вращении вокруг оси абсцисс используем формулу:
$$V=\pi\int_{0}^{1}(2x+1)^2\,dx.$$
$$ V=\pi\int_{0}^{1}(4x^2+4x+1)\,dx =\pi\left(\frac{4x^3}{3}+2x^2+x\right)\Bigg|_{0}^{1} =\pi\left(\frac{4}{3}+2+1\right) =\frac{13\pi}{3}. $$
$$y=x^2+1,\quad x=1,\quad x=2,\quad y=0.$$
$$V=\pi\int_{1}^{2}(x^2+1)^2\,dx.$$
$$ V=\pi\int_{1}^{2}(x^4+2x^2+1)\,dx =\pi\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{1}^{2}. $$
$$ V=\pi\left(\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+2-\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right) =\pi\left(\frac{31}{5}+\frac{14}{3}+1\right) =\frac{178\pi}{15}. $$
$$y=\sqrt{x},\quad x=1,\quad x=4,\quad y=0.$$
$$V=\pi\int_{1}^{4}(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_{1}^{4}x\,dx.$$
$$ V=\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Bigg|_{1}^{4} =\pi\left(\frac{16}{2}-\frac{1}{2}\right) =\frac{15\pi}{2}. $$
$$y=x^2,\quad y=x.$$
Точки пересечения найдём из уравнения:
$$x^2=x,\quad x^2-x=0,\quad x(x-1)=0,$$
откуда $$x=0$$ и $$x=1.$$
На отрезке $$[0,1]$$ сверху расположена прямая $$y=x$$, снизу — парабола $$y=x^2$$. Тогда
$$ V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(x^2-(x^2)^2\bigr)\,dx =\pi\int_{0}^{1}(x^2-x^4)\,dx. $$
$$ V=\pi\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_{0}^{1} =\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) =\frac{2\pi}{15}. $$
$$y=\frac{1}{x},\quad y=0,\quad x=\frac12,\quad x=2,\quad y=x.$$
Точка пересечения графиков $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=x$$:
$$\frac{1}{x}=x,\quad x^2=1,\quad x=1$$
(на данном промежутке подходит только $$x=1$$).
Тогда объём состоит из двух частей:
$$ V=\pi\int_{1/2}^{1}\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx+\pi\int_{1}^{2}x^2\,dx. $$
$$ V=\pi\left(-\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1/2}^{1}+\pi\left(\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\pi\left( -1+2 \right)+\pi\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right). $$
$$ V=\pi+\frac{7\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}. $$