Упр.12.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 1) $$y=2x+1$$, $$x=1$$, $$x=0$$, $$y=0$$; 2) $$y=x^2+1$$, $$x=1$$, $$x=2$$, $$y=0$$; 3) $$y=vx$$, $$x=1$$, $$x=4$$, $$y=0$$; 4) $$y=x^2$$, $$y=x$$; 5) $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=0$$, $$x=\frac{1}{2}$$, $$x=2$$, $$y=x$$.

1. $$y=2x+1,\quad x=1,\quad x=0,\quad y=0.$$

   При вращении вокруг оси абсцисс используем формулу:

   $$V=\pi\int_{0}^{1}(2x+1)^2\,dx.$$

   $$V=\pi\int_{0}^{1}(4x^2+4x+1)\,dx =\pi\left(\frac{4x^3}{3}+2x^2+x\right)\Bigg|_{0}^{1} =\pi\left(\frac{4}{3}+2+1\right) =\frac{13\pi}{3}.$$

2. $$y=x^2+1,\quad x=1,\quad x=2,\quad y=0.$$

   $$V=\pi\int_{1}^{2}(x^2+1)^2\,dx.$$

   $$V=\pi\int_{1}^{2}(x^4+2x^2+1)\,dx =\pi\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{1}^{2}.$$

   $$V=\pi\left(\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+2-\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right) =\pi\left(\frac{31}{5}+\frac{14}{3}+1\right) =\frac{178\pi}{15}.$$

3. $$y=\sqrt{x},\quad x=1,\quad x=4,\quad y=0.$$

   $$V=\pi\int_{1}^{4}(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_{1}^{4}x\,dx.$$

   $$V=\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Bigg|_{1}^{4} =\pi\left(\frac{16}{2}-\frac{1}{2}\right) =\frac{15\pi}{2}.$$

4. $$y=x^2,\quad y=x.$$

   Точки пересечения найдём из уравнения:

   $$x^2=x,\quad x^2-x=0,\quad x(x-1)=0,$$

   откуда $$x=0$$ и $$x=1.$$

   На отрезке $$[0,1]$$ сверху расположена прямая $$y=x$$, снизу — парабола $$y=x^2$$. Тогда

   $$V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(x^2-(x^2)^2\bigr)\,dx =\pi\int_{0}^{1}(x^2-x^4)\,dx.$$

   $$V=\pi\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_{0}^{1} =\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) =\frac{2\pi}{15}.$$

5. $$y=\frac{1}{x},\quad y=0,\quad x=\frac12,\quad x=2,\quad y=x.$$

   Точка пересечения графиков $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=x$$:

   $$\frac{1}{x}=x,\quad x^2=1,\quad x=1$$

   (на данном промежутке подходит только $$x=1$$).

   Тогда объём состоит из двух частей:

   $$V=\pi\int_{1/2}^{1}\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx+\pi\int_{1}^{2}x^2\,dx.$$

   $$V=\pi\left(-\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1/2}^{1}+\pi\left(\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\pi\left( -1+2 \right)+\pi\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right).$$

   $$V=\pi+\frac{7\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac{13\pi}{3}$$; 2) $$\frac{178\pi}{15}$$; 3) $$\frac{15\pi}{2}$$; 4) $$\frac{2\pi}{15}$$; 5) $$\frac{10\pi}{3}$$.