Упр.11.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
   1) $$y=x^2-1$$, $$y=0$$, $$x=2$$;
   2) $$y=-x^2-4x$$, $$y=0$$, $$x=-3$$, $$x=-1$$;
   3) $$y=-\frac{8}{x}$$, $$y=0$$, $$x=-4$$, $$x=-2$$;
   4) $$y=\frac{1}{(x+2)^2}$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=1$$;
   5) $$y=\sqrt{x+4}$$, $$y=0$$, $$x=-3$$, $$x=5$$;
   6) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x-1$$, $$y=0$$, $$x=-2$$, $$x=-4$$.

1. $$y=x^2-1,\quad y=0,\quad x=2.$$

   Точка пересечения графика с осью $$Ox$$:

   $$x^2-1=0,\quad x=\pm 1.$$

   На отрезке $$[1;2]$$ функция неотрицательна, поэтому

   $$S=\int\limits_{1}^{2}(x^2-1)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Bigg|_{1}^{2} =\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right) =\frac{4}{3}.$$

2. $$y=-x^2-4x,\quad y=0,\quad x=-3,\quad x=-1.$$

   На отрезке $$[-3;-1]$$ функция неотрицательна, значит

   $$S=\int\limits_{-3}^{-1}(-x^2-4x)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}-2x^2\right)\Bigg|_{-3}^{-1}.$$

   $$S=\left(\frac{1}{3}-2\right)-\left(9-18\right) =\frac{1}{3}-2+9 =\frac{22}{3}.$$

3. $$y=-\frac{8}{x},\quad y=0,\quad x=-4,\quad x=-2.$$

   На отрезке $$[-4;-2]$$ функция неотрицательна, поэтому

   $$S=\int\limits_{-4}^{-2}\left(-\frac{8}{x}\right)\,dx =-8\ln|x|\Bigg|_{-4}^{-2}.$$

   $$S=-8\ln 2+8\ln 4=8\ln 2.$$

4. $$y=\frac{1}{(x+2)^2},\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=1.$$

   $$S=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{(x+2)^2} =\left(-\frac{1}{x+2}\right)\Bigg|_{-1}^{1}.$$

   $$S=-\frac{1}{3}-\left(-1\right)=\frac{2}{3}.$$

5. $$y=\sqrt{x+4},\quad y=0,\quad x=-3,\quad x=5.$$

   $$S=\int\limits_{-3}^{5}\sqrt{x+4}\,dx =\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}\Bigg|_{-3}^{5}.$$

   $$S=\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2} =\frac{2}{3}\cdot 27-\frac{2}{3} =\frac{52}{3}.$$

6. $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x-1,\quad y=0,\quad x=-2,\quad x=-4.$$

   На отрезке $$[-4;-2]$$ функция неотрицательна, значит

   $$S=\int\limits_{-4}^{-2}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right)\,dx.$$

   Так как

   $$\int \left(\frac{1}{3}\right)^x dx=\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{\ln\frac{1}{3}} =-\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{\ln 3},$$

   то

   $$S=\left(-\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{\ln 3}-x\right)\Bigg|_{-4}^{-2}.$$

   $$S=\left(-\frac{9}{\ln 3}+2\right)-\left(-\frac{81}{\ln 3}+4\right) =\frac{72}{\ln 3}-2.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{3}$$; 2) $$\frac{22}{3}$$; 3) $$8\ln 2$$; 4) $$\frac{2}{3}$$; 5) $$\frac{52}{3}$$; 6) $$\frac{72}{\ln 3}-2$$.