Упр.11.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной:
1) параболой $$y=x^2+1$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=2$$;
2) косинусоидой $$y=\cos x$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=-\frac{\pi}{6}$$, $$x=\frac{\pi}{2}$$;
3) графиком функции $$y=-x^3$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=-2$$;
4) параболой $$y=3-2x-x^2$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=-2$$, $$x=0$$;
5) гиперболой $$y=\frac{1}{2x}$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=\frac{1}{4}$$, $$x=2$$;
6) параболой $$y=2x-x^2$$ и осью абсцисс;
7) синусоидой $$y=\sin(2x)$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=\frac{\pi}{12}$$, $$x=\frac{\pi}{4}$$;
8) графиком функции $$y=\frac{1}{(x-1)^2}$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=0$$;
9) графиком функции $$y=e^x+1$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=-2$$;
10) графиком функции $$y=\sqrt{5-x}$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=-4$$.
$$S=\int_{0}^{2}(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{0}^{2}=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}.$$
$$S=\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Bigg|_{-\pi/6}^{\pi/2}=1- \left(-\frac12\right)=\frac32.$$
$$S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=-\frac{x^4}{4}\Bigg|_{-2}^{0}=0-\left(-\frac{16}{4}\right)=4.$$
$$S=\int_{-2}^{0}(3-2x-x^2)\,dx=\left(3x-x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{0}.$$
$$S=0-\left(-6-4+\frac{8}{3}\right)=\frac{22}{3}.$$
$$S=\int_{1/4}^{2}\frac{1}{2x}\,dx=\frac12\ln|x|\Bigg|_{1/4}^{2}=\frac12\left(\ln 2-\ln\frac14\right).$$
$$S=\frac12\ln 8.$$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$2x-x^2=0,$$
$$x(2-x)=0,$$
$$x=0,\; x=2.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}=\frac{4}{3}.$$
$$S=\int_{\pi/12}^{\pi/4}\sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x\Bigg|_{\pi/12}^{\pi/4}.$$
$$S=-\frac12\cos\frac{\pi}{2}+\frac12\cos\frac{\pi}{6}=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}.$$
$$S=\int_{-1}^{0}\frac{dx}{(x-1)^2}=-\frac{1}{x-1}\Bigg|_{-1}^{0}.$$
$$S=-\frac{1}{-1}+\frac{1}{-2}=1-\frac12=\frac12.$$
$$S=\int_{-2}^{0}(e^x+1)\,dx=(e^x+x)\Bigg|_{-2}^{0}.$$
$$S=(1+0)-\left(e^{-2}-2\right)=3-e^{-2}=\frac{3e^2-1}{e^2}.$$
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$\sqrt{5-x}=0,$$
$$x=5.$$
Тогда
$$S=\int_{-4}^{5}\sqrt{5-x}\,dx=-\frac{2}{3}(5-x)^{3/2}\Bigg|_{-4}^{5}.$$
$$S=-\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}=18.$$
Ответ
1) $$\frac{14}{3}$$; 2) $$\frac{3}{2}$$; 3) $$4$$; 4) $$\frac{22}{3}$$; 5) $$\frac12\ln 8$$; 6) $$\frac{4}{3}$$; 7) $$\frac{\sqrt3}{4}$$; 8) $$\frac12$$; 9) $$\frac{3e^2-1}{e^2}$$; 10) $$18$$.
