Упр.11.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите одну из первообразных функции $$y=\sqrt{4-x^2}$$ на промежутке $$[-2;2]$$.

Найдём первообразную для функции $$y=\sqrt{4-x^2}$$ на промежутке $$[-2;2].$$

Сделаем замену:

$$x=2\sin u,\qquad dx=2\cos u\,du.$$

Тогда

$$\int \sqrt{4-x^2}\,dx = \int 2\cos u\sqrt{4-4\sin^2 u}\,du = \int 2\cos u\cdot 2\cos u\,du = \int 4\cos^2 u\,du.$$

Используем формулу $$\cos^2 u=\dfrac{1+\cos 2u}{2}$$:

$$\int 4\cos^2 u\,du = \int (2+2\cos 2u)\,du = 2u+\sin 2u+C.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$u=\arcsin \frac{x}{2},$$

а также

$$\sin 2u=2\sin u\cos u =2\cdot \frac{x}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} =\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}.$$

Следовательно, одна из первообразных имеет вид

$$F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin \frac{x}{2}+C.$$

Ответ

$$F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin \frac{x}{2}+C.$$