Упр.11.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите $$\int_{-2}^{2}\frac{2^{x^{1/3}}-1}{2^{x^{1/3}}+1}\,dx$$.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{2^{\sqrt[3]{x}}-1}{2^{\sqrt[3]{x}}+1}.$$

Проверим её чётность:

$$f(-x)=\frac{2^{\sqrt[3]{-x}}-1}{2^{\sqrt[3]{-x}}+1}=\frac{2^{-\sqrt[3]{x}}-1}{2^{-\sqrt[3]{x}}+1}.$$

Преобразуем:

$$f(-x)=\frac{\frac{1}{2^{\sqrt[3]{x}}}-1}{\frac{1}{2^{\sqrt[3]{x}}}+1} =\frac{1-2^{\sqrt[3]{x}}}{1+2^{\sqrt[3]{x}}} =-\frac{2^{\sqrt[3]{x}}-1}{2^{\sqrt[3]{x}}+1} =-f(x).$$

Значит, функция нечётная. Тогда на симметричном промежутке $$[-2;2]$$ интеграл равен нулю:

$$\int_{-2}^{2}\frac{2^{\sqrt[3]{x}}-1}{2^{\sqrt[3]{x}}+1}\,dx=0.$$

Ответ

$$0$$