Упр.11.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Вычислите определённый интеграл, используя его геометрический смысл:
   1) $$\int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx$$;
   3) $$\int_{1}^{5}(6x-x^2-5)\,dx$$;
   2) $$\int_{0}^{2\sqrt{3}}\sqrt{12-x^2}\,dx$$;
   4) $$\int_{-2}^{2}|x+1|\,dx$$.

1. $$\int\limits_{-5}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx$$
   — это площадь верхней полуокружности радиуса $$R=5$$.

   Тогда
   $$\int\limits_{-5}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{2}=\frac{\pi\cdot 5^2}{2}=\frac{25\pi}{2}.$$

2. $$\int\limits_{0}^{2\sqrt3}\sqrt{12-x^2}\,dx$$
   — это площадь четверти круга радиуса $$R=2\sqrt3$$.

   Тогда
   $$\int\limits_{0}^{2\sqrt3}\sqrt{12-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi\cdot (2\sqrt3)^2}{4}=3\pi.$$

3. $$\int\limits_{1}^{5}\sqrt{6x-x^2-5}\,dx$$
   Преобразуем подкоренное выражение:
   $$6x-x^2-5=-(x^2-6x+5)=4-(x-3)^2.$$

   Значит,
   $$\int\limits_{1}^{5}\sqrt{4-(x-3)^2}\,dx$$
   — это площадь верхней полуокружности радиуса $$R=2$$.

   Тогда
   $$\int\limits_{1}^{5}\sqrt{6x-x^2-5}\,dx=\frac{\pi R^2}{2}=\frac{\pi\cdot 2^2}{2}=2\pi.$$

4. $$\int\limits_{-2}^{2}|x+1|\,dx$$
   разобьём в точке $$x=-1$$:
   $$\int\limits_{-2}^{2}|x+1|\,dx=\int\limits_{-2}^{-1}-(x+1)\,dx+\int\limits_{-1}^{2}(x+1)\,dx.$$

   Геометрически это сумма площадей двух треугольников:
   $$S_1=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac12,\qquad S_2=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac92.$$

   Тогда
   $$\int\limits_{-2}^{2}|x+1|\,dx=\frac12+\frac92=5.$$

Ответ

1) $$\frac{25\pi}{2}$$; 2) $$3\pi$$; 3) $$2\pi$$; 4) $$5$$.