Упр.11.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1. графиком функции $$y=\begin{cases}x+3, & \text{если } x<-1,\\ x^2+1, & \text{если } x>-1,\end{cases}$$ и прямыми $$y=0,\ x=-2,\ x=0$$;
2. графиком функции $$y=\begin{cases}x+2, & \text{если } -2

1) Площадь фигуры равна сумме площадей под графиком на отрезках $$[-2;-1]$$ и $$[-1;0]$$:

$$S=\int_{-2}^{-1}(x+3)\,dx+\int_{-1}^{0}(x^2+1)\,dx.$$

$$\int_{-2}^{-1}(x+3)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)\Bigg|_{-2}^{-1} =\left(\frac12-3\right)-\left(2-6\right)=\frac32,$$

$$\int_{-1}^{0}(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{0} =0-\left(-\frac13-1\right)=\frac43.$$

Тогда
$$S=\frac32+\frac43=\frac{17}{6}.$$

2) Здесь площадь равна сумме площадей под графиком на отрезках $$[-2;0]$$ и $$[0;\frac{\pi}{4}]$$:

$$S=\int_{-2}^{0}(x+2)\,dx+\int_{0}^{\pi/4}2\cos 2x\,dx.$$

$$\int_{-2}^{0}(x+2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{0}=0-\left(2-4\right)=2,$$

$$\int_{0}^{\pi/4}2\cos 2x\,dx=\left(\sin 2x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4}=1-0=1.$$

Следовательно,
$$S=2+1=3.$$

Ответ

1) $$\frac{17}{6}$$; 2) $$3$$.