Упр.11.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
   1) $$y=x^2-4x$$, $$y=x-4$$;
   2) $$y=3-x^2$$, $$y=2x$$;
   3) $$y=\cos(x)$$, $$y=-2\cos(x)$$, $$x=-\frac{\pi}{6}$$, $$x=\frac{\pi}{2}$$;
   4) $$y=4-x^2$$, $$y=x^2-2x$$.

1. $$y=x^2-4x,\quad y=x-4$$

   Найдём точки пересечения:

   $$x^2-4x=x-4$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

   $$x_1=1,\quad x_2=4$$

   На отрезке $$[1;4]$$ сверху прямая $$y=x-4$$, снизу парабола $$y=x^2-4x$$, поэтому

   $$S=\int\limits_1^4 \bigl((x-4)-(x^2-4x)\bigr)\,dx=\int\limits_1^4(-x^2+5x-4)\,dx$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_1^4=\frac{9}{2}$$

2. $$y=3-x^2,\quad y=2x$$

   Точки пересечения:

   $$3-x^2=2x$$

   $$x^2+2x-3=0$$

   $$D=4+12=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=1$$

   На отрезке $$[-3;1]$$ сверху парабола $$y=3-x^2$$, снизу прямая $$y=2x$$:

   $$S=\int\limits_{-3}^1 \bigl((3-x^2)-2x\bigr)\,dx=\int\limits_{-3}^1(3-x^2-2x)\,dx$$

   $$S=\left(3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Bigg|_{-3}^1=\frac{32}{3}$$

3. $$y=\cos x,\quad y=-2\cos x,\quad x=-\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{\pi}{2}$$

   На данном промежутке $$\cos x\ge 0$$, значит сверху график $$y=\cos x$$, снизу $$y=-2\cos x$$:

   $$S=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/2}\bigl(\cos x-(-2\cos x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/2}3\cos x\,dx$$

   $$S=3\sin x\Bigg|_{-\pi/6}^{\pi/2}=3\left(1-\left(-\frac12\right)\right)=\frac{9}{2}$$

4. $$y=4-x^2,\quad y=x^2-2x$$

   Точки пересечения:

   $$4-x^2=x^2-2x$$

   $$2x^2-2x-4=0$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=2$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ сверху график $$y=4-x^2$$, снизу $$y=x^2-2x$$:

   $$S=\int\limits_{-1}^2 \bigl((4-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^2(4-2x^2+2x)\,dx$$

   $$S=\left(4x-\frac{2x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{-1}^2=9$$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{32}{3}$$; 3) $$\frac{9}{2}$$; 4) $$9$$.