Упр.11.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) y=x^2-3x-4, y=0, x=0, x=3;
2) y=-x^2, y=x-2;
3) y=x^2-4, y=4-x^2;
4) y=x^2-2x, y=x;
5) y=3sin(x), y=-2sin(x), x=0, x=2?/3;
6) y=4/x-2, y=2, x=2, x=4.

Подробный ответ

$$y=x^2-3x-4,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=3.$$
На отрезке $$[0;3]$$ функция $$x^2-3x-4$$ не положительна, поэтому площадь равна
$$ S=\int_0^3 \bigl(0-(x^2-3x-4)\bigr)\,dx =\int_0^3 (-x^2+3x+4)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x\right)\Bigg|_0^3 =-\frac{27}{3}+\frac{27}{2}+12 =\frac{33}{2}. $$
$$y=-x^2,\quad y=x-2.$$
Точки пересечения:
$$ -x^2=x-2,\quad x^2+x-2=0,\quad (x+2)(x-1)=0. $$
$$x=-2,\quad x=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится парабола $$y=-x^2$$, поэтому
$$ S=\int_{-2}^{1}\bigl((-x^2)-(x-2)\bigr)\,dx =\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\frac{9}{2}. $$
$$y=x^2-4,\quad y=4-x^2.$$
Точки пересечения:
$$ x^2-4=4-x^2,\quad 2x^2=8,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2. $$
Сверху расположена функция $$y=4-x^2$$, поэтому
$$ S=\int_{-2}^{2}\bigl((4-x^2)-(x^2-4)\bigr)\,dx =\int_{-2}^{2}(8-2x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2} =\frac{64}{3}. $$
$$y=x^2-2x,\quad y=x.$$
Точки пересечения:
$$ x^2-2x=x,\quad x^2-3x=0,\quad x(x-3)=0. $$
$$x=0,\quad x=3.$$
На отрезке $$[0;3]$$ сверху прямая $$y=x$$, значит
$$ S=\int_0^3 \bigl(x-(x^2-2x)\bigr)\,dx =\int_0^3(-x^2+3x)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_0^3 =\frac{9}{2}. $$
$$y=3\sin x,\quad y=-2\sin x,\quad x=0,\quad x=\frac{2\pi}{3}.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$ имеем $$\sin x\ge 0$$, поэтому сверху находится $$y=3\sin x$$.
$$ S=\int_0^{2\pi/3}\bigl(3\sin x-(-2\sin x)\bigr)\,dx =\int_0^{2\pi/3}5\sin x\,dx. $$
$$ S=\left(-5\cos x\right)\Bigg|_0^{2\pi/3} =-5\cos\frac{2\pi}{3}+5\cos 0 =\frac{15}{2}. $$
$$y=\frac{4}{x}-2,\quad y=2,\quad x=2,\quad x=4.$$
На отрезке $$[2;4]$$ функция $$\frac{4}{x}-2$$ не превышает $$2$$, поэтому
$$ S=\int_2^4 \left(2-\left(\frac{4}{x}-2\right)\right)\,dx =\int_2^4 \left(4-\frac{4}{x}\right)\,dx. $$
$$ S=\left(4x-4\ln|x|\right)\Bigg|_2^4 =16-4\ln 4-8+4\ln 2 =8-4\ln 2. $$