Упр.11.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ выполняется неравенство $$\int_{\frac{1}{2}}^{a}\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx>1{,}5$$, где $$a>\frac{1}{2}$$?

Вычислим определённый интеграл:

$$\int_{1/2}^{a}\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx>1{,}5,\qquad a>\frac12.$$

Первообразная для подынтегральной функции:

$$\int\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx=\int\left(x^{-2}+1\right)\,dx=-\frac{1}{x}+x.$$

Тогда

$$\left(-\frac{1}{x}+x\right)\Bigg|_{1/2}^{a}>1{,}5.$$

Подставим пределы:

$$-\frac{1}{a}+a-\left(-\frac{1}{1/2}+\frac12\right)>1{,}5.$$

$$-\frac{1}{a}+a+2-\frac12>1{,}5.$$

$$-\frac{1}{a}+a+\frac32>\frac32.$$

Отсюда

$$a-\frac{1}{a}>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2-1}{a}>0.$$

Так как по условию $$a>\frac12,$$ то $$a>0,$$ значит знак дроби определяется числителем:

$$a^2-1>0.$$

$$\left(a-1\right)\left(a+1\right)>0.$$

С учётом условия $$a>\frac12$$ получаем:

$$a>1.$$

Ответ

$$a\in(1;+\infty).$$