Упр.11.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ выполняется неравенство:

1. $$\int_0^a (4-2x)\,dx<3$$, где $$a>0$$;
2. $$\int_{\log_{0,2}6}^a 0{,}2^x\,dx>\frac{19}{\ln 0{,}2}$$, где $$a>\log_{0,2}6$$?

1) Вычислим определённый интеграл:

$$\int_0^a (4-2x)\,dx = \left(4x-x^2\right)\Big|_0^a = 4a-a^2.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$4a-a^2<3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-4a+3>0.$$

Разложим на множители:

$$a^2-4a+3=(a-1)(a-3).$$

Получаем:

$$(a-1)(a-3)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$a<1 \quad \text{или} \quad a>3.$$

С учётом условия $$a>0$$ имеем:

$$a\in(0;1)\cup(3;+\infty).$$

2) Найдём значение интеграла:

$$\int_{\log_{0,2}6}^{a} 0,2^x\,dx = \left.\frac{0,2^x}{\ln 0,2}\right|_{\log_{0,2}6}^{a} = \frac{0,2^a-0,2^{\log_{0,2}6}}{\ln 0,2}.$$

Так как $$0,2^{\log_{0,2}6}=6,$$ то

$$\int_{\log_{0,2}6}^{a} 0,2^x\,dx = \frac{0,2^a-6}{\ln 0,2}.$$

По условию:

$$\frac{0,2^a-6}{\ln 0,2} > \frac{19}{\ln 0,2}.$$

Так как $$\ln 0,2<0,$$ при умножении на $$\ln 0,2$$ знак неравенства меняется:

$$0,2^a-6<19.$$

$$0,2^a<25.$$

Основание $$0,2\in(0;1),$$ поэтому функция $$0,2^a$$ убывает, и из неравенства следует:

$$a>\log_{0,2}25.$$

Но $$25=5^2$$, а также $$\log_{0,2}25<\log_{0,2}6,$$ поэтому с учётом условия $$a>\log_{0,2}6$$ получаем:

$$a\in(\log_{0,2}6;+\infty).$$

Ответ

1) $$a\in(0;1)\cup(3;+\infty).$$

2) $$a\in(\log_{0,2}6;+\infty).$$