Упр.11.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ?(0; a)(4-2x)dx < 3, где a > 0;
2) ?(log_0,2 6; a)0,2^xdx > 19/ln 0,2, где a > log_0,2 6?

1. Вычислим интеграл:

   $$\int_0^a (4-2x)\,dx = \left(4x-x^2\right)\Big|_0^a = 4a-a^2.$$

   Тогда неравенство принимает вид:

   $$4a-a^2<3,$$

   $$a^2-4a+3>0,$$

   $$\left(a-1\right)\left(a-3\right)>0.$$

   С учётом условия $$a>0$$ получаем:

   $$a\in(0;1)\cup(3;+\infty).$$

2. Вычислим интеграл:

   $$\int_{\log_{0,2}6}^{a} 0,2^x\,dx = \frac{0,2^x}{\ln 0,2}\Big|_{\log_{0,2}6}^{a} = \frac{0,2^a-0,2^{\log_{0,2}6}}{\ln 0,2}.$$

   Так как $$0,2^{\log_{0,2}6}=6,$$ то

   $$\frac{0,2^a-6}{\ln 0,2} > \frac{19}{\ln 0,2}.$$

   Поскольку $$\ln 0,2<0,$$ при умножении на $$\ln 0,2$$ знак неравенства меняется:

   $$0,2^a-6<19,$$

   $$0,2^a<25.$$

   Запишем основание через степень числа 5:

   $$5^{-a}<5^2,$$

   откуда

   $$-a<2,\quad a>-2.$$

   С учётом условия $$a>\log_{0,2}6$$ получаем:

   $$a\in(\log_{0,2}6;+\infty).$$

Ответ

1) $$a\in(0;1)\cup(3;+\infty);$$ 2) $$a\in(\log_{0,2}6;+\infty).$$