Упр.11.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.16. При каком значении а прямая x=a разбивает фигуру, ограниченную графиком функции y=-x^3 и прямыми y=0, x=-2, на две равновеликие фигуры?

Подробный ответ

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=-x^3$$, осью $$Ox$$ и прямой $$x=-2$$:

$$ S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=-\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-2}^{0} =-\left(0-\frac{16}{4}\right)=4. $$

Чтобы прямая $$x=a$$ делила фигуру на две равновеликие части, площадь слева от неё должна быть равна половине общей площади:

$$ \int_{-2}^{a}(-x^3)\,dx=2. $$

Вычислим интеграл:

$$ -\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-2}^{a}=2 $$
$$ -\left(\frac{a^4}{4}-\frac{16}{4}\right)=2 $$
$$ -\frac{a^4}{4}+4=2 $$
$$ a^4=8. $$

Так как $$a$$ лежит на отрезке $$[-2;0]$$, получаем

$$ a=-\sqrt[4]{8}. $$