Упр.11.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каком значении $$a$$ прямая $$x=a$$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $$y=-x^3$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=-2$$, на две равновеликие фигуры?

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=-x^3$$, осью $$Ox$$ и прямой $$x=-2$$:

$$S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{0} =-\frac{0^4}{4}+\frac{(-2)^4}{4}=4.$$

Чтобы прямая $$x=a$$ делила фигуру на две равновеликие части, площадь справа от неё должна быть равна половине общей площади:

$$\int_{a}^{0}(-x^3)\,dx=2.$$

Вычислим интеграл:

$$\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{a}^{0}=2,$$

$$\frac{a^4}{4}=2,$$

$$a^4=8.$$

Так как $$a$$ лежит на отрезке $$[-2;0]$$, получаем

$$a=-\sqrt[4]{8}.$$

Ответ

$$-\sqrt[4]{8}$$