Упр.11.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 11.16. При каком значении а прямая x=a разбивает фигуру, ограниченную графиком функции y=-x^3 и прямыми y=0, x=-2, на две равновеликие фигуры?

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=-x^3$$, осью $$Ox$$ и прямой $$x=-2$$:

$$ S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{0} =-\frac{0^4}{4}+\frac{(-2)^4}{4}=4. $$

Чтобы прямая $$x=a$$ делила фигуру на две равновеликие части, площадь справа от неё должна быть равна половине общей площади:

$$ \int_{a}^{0}(-x^3)\,dx=2. $$

Вычислим интеграл:

$$ \left(-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{a}^{0}=2, $$

$$ \frac{a^4}{4}=2, $$

$$ a^4=8. $$

Так как $$a$$ лежит на отрезке $$[-2;0]$$, получаем

$$ a=-\sqrt[4]{8}. $$

Ответ

$$-\sqrt[4]{8}$$