Упр.11.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каком значении $$a$$ прямая $$x=a$$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $$y=\frac{2}{x}$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=3$$, $$x=12$$, на две равновеликие фигуры?

Площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=\frac{2}{x}$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=3$$, $$x=12$$, равна

$$S=\int\limits_{3}^{12}\frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|\Big|_{3}^{12}=2\ln 12-2\ln 3=2\ln 4.$$

Чтобы прямая $$x=a$$ делила фигуру на две равновеликие части, нужно, чтобы площадь слева от неё была равна половине общей площади:

$$\int\limits_{3}^{a}\frac{2}{x}\,dx=\frac{S}{2}=\ln 4.$$

Тогда

$$2\ln|x|\Big|_{3}^{a}=\ln 4,$$

$$2\ln a-2\ln 3=\ln 4,$$

$$\ln\frac{a^2}{9}=\ln 4,$$

$$\frac{a^2}{9}=4,$$

$$a^2=36,$$

$$a=6,$$

так как $$3<a<12$$.

Ответ

$$6$$