Упр.11.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каком положительном значении $$a$$ определённый интеграл $$\int_0^a (6-2x)\,dx$$ принимает наибольшее значение?

Обозначим значение интеграла через функцию:

$$f(a)=\int_0^a (6-2x)\,dx.$$

Найдём её вид:

$$f(a)=\left(6x-x^2\right)\Big|_0^a=6a-a^2.$$

Теперь нужно найти, при каком положительном $$a$$ функция $$f(a)$$ принимает наибольшее значение. Это квадратная функция

$$f(a)=-a^2+6a,$$

ветви параболы направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$a=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3.$$

Проверим: при $$a>0$$ это значение подходит.

Ответ

$$3$$