Упр.11.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 11.12. При каком положительном значении а определённый интеграл ?(0; a)(6-2x)dx принимает наибольшее значение?

Рассмотрим функцию

$$f(a)=\int_0^a (6-2x)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$f(a)=\left(6x-x^2\right)\Big|_0^a=6a-a^2.$$

Найдём, при каком положительном значении $$a$$ эта функция принимает наибольшее значение. Это квадратичная функция, ветви которой направлены вниз, значит максимум достигается в вершине параболы:

$$a=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3.$$

Проверим через производную:

$$f'(a)=6-2a,$$

$$f'(a)=0 \Rightarrow 6-2a=0 \Rightarrow a=3.$$

При $$a=3$$ функция достигает наибольшего значения.

Ответ

$$3$$