Упр.11.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите площадь фигуры, ограниченной:
а) графиком функции $$y=x^3$$ и прямыми $$y=8$$, $$x=1$$;
б) параболой $$y=0{,}5x^2$$ и прямой $$y=-x$$;
в) параболой $$y=4-x^2$$ и прямой $$y=3$$;
г) параболой $$y=6+x-x^2$$ и прямой $$y=6-2x$$;
д) параболами $$y=x^2-4x+4$$ и $$y=4-x^2$$;
е) гиперболой $$y=\frac{3}{x}$$ и прямыми $$y=3$$, $$x=3$$;
ж) графиком функции $$y=e^{-x}$$ и прямыми $$y=e$$, $$x=0$$;
з) гиперболой $$y=\frac{5}{x}$$ и прямой $$x+y=6$$.
$$y=x^3,\quad y=8,\quad x=1$$
Точка пересечения графика $$y=x^3$$ и прямой $$y=8$$:
$$x^3=8,\quad x=2.$$
Тогда площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{1}^{2}(8-x^3)\,dx =\left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\left(16-4\right)-\left(8-\frac14\right) =\frac{15}{4}.$$
$$y=0{,}5x^2,\quad y=-x$$
Точки пересечения:
$$0{,}5x^2=-x,\quad x^2+2x=0,\quad x(x+2)=0,$$
$$x=-2,\quad x=0.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-2}^{0}\left(0{,}5x^2+x\right)\,dx =\left(\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{0} =\frac{2}{3}.$$
$$y=4-x^2,\quad y=3$$
Точки пересечения:
$$4-x^2=3,\quad x^2=1,\quad x=\pm1.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-1}^{1}(4-x^2-3)\,dx =\int\limits_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx =\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\frac{4}{3}.$$
$$y=6+x-x^2,\quad y=6-2x$$
Точки пересечения:
$$6+x-x^2=6-2x,\quad x^2-3x=0,\quad x(x-3)=0,$$
$$x=0,\quad x=3.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((6+x-x^2)-(6-2x)\bigr)\,dx =\int\limits_{0}^{3}(3x-x^2)\,dx =\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3} =\frac{9}{2}.$$
$$y=x^2-4x+4,\quad y=4-x^2$$
Точки пересечения:
$$x^2-4x+4=4-x^2,\quad 2x^2-4x=0,\quad 2x(x-2)=0,$$
$$x=0,\quad x=2.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{0}^{2}\bigl((4-x^2)-(x^2-4x+4)\bigr)\,dx =\int\limits_{0}^{2}(4x-2x^2)\,dx =\left(2x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\frac{8}{3}.$$
$$y=\frac{3}{x},\quad y=3,\quad x=3$$
Точка пересечения гиперболы и прямой $$y=3$$:
$$\frac{3}{x}=3,\quad x=1.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{1}^{3}\left(3-\frac{3}{x}\right)\,dx =\left(3x-3\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{3} =6-3\ln 3.$$
$$y=e^{-x},\quad y=e,\quad x=0$$
Точка пересечения:
$$e^{-x}=e,\quad -x=1,\quad x=-1.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-1}^{0}\left(e-e^{-x}\right)\,dx =\left(ex+e^{-x}\right)\Bigg|_{-1}^{0} =e-1.$$
$$y=\frac{5}{x},\quad x+y=6$$
Точки пересечения:
$$\frac{5}{x}=6-x,\quad 5=6x-x^2,\quad x^2-6x+5=0,$$
$$x=1,\quad x=5.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{1}^{5}\left(6-x-\frac{5}{x}\right)\,dx =\left(6x-\frac{x^2}{2}-5\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{5} =12-5\ln 5.$$
Ответ
1) $$\frac{15}{4}$$; 2) $$\frac{2}{3}$$; 3) $$\frac{4}{3}$$; 4) $$\frac{9}{2}$$; 5) $$\frac{8}{3}$$; 6) $$6-3\ln 3$$; 7) $$e-1$$; 8) $$12-5\ln 5$$.
