Упр.11.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) y=x^2, y=4; 4) y=4/x, y=1, x=1;
2) y=2x^2, y=2x; 5) y=4/x, y=4, x=4;
3) y=e^x, y=1, x=2; 6) y=x^2-4x+5, y=5;
7) y=2+x-x^2, y=2-x; 12) y=e^x, y=e, x=0;
8) y=x^2+2, y=x+4; 13) y=7/x, x+y=8;
9) y=x^2+2x+1, y=x+3; 14) y=2/x^2, y=2x, x=2;
10) y=-x^2+2x, y=x^2; 15) y=sin(x), y=cos(x), x=0, x=?/4.
11) y=x^3, y=x^2;

Подробный ответ

$$y=x^2,\quad y=4$$
Точки пересечения:
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}=\frac{32}{3}.$$
$$y=2x^2,\quad y=2x$$
Точки пересечения:
$$2x^2=2x,\quad x(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{1}(2x-2x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.$$
$$y=e^x,\quad y=1,\quad x=2$$
Точка пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=1$$:
$$e^x=1,\quad x=0.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{2}(e^x-1)\,dx=\left(e^x-x\right)\Bigg|_{0}^{2}=e^2-3.$$
$$y=\frac{4}{x},\quad y=1,\quad x=1$$
Точка пересечения:
$$\frac{4}{x}=1,\quad x=4.$$
Тогда
$$S=\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{x}-1\right)\,dx=\left(4\ln|x|-x\right)\Bigg|_{1}^{4}=4\ln 4-3.$$
$$y=\frac{4}{x},\quad y=4,\quad x=4$$
Точка пересечения:
$$\frac{4}{x}=4,\quad x=1.$$
Тогда
$$S=\int_{1}^{4}\left(4-\frac{4}{x}\right)\,dx=\left(4x-4\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{4}=12-4\ln 4.$$
$$y=x^2-4x+5,\quad y=5$$
Точки пересечения:
$$x^2-4x+5=5,\quad x(x-4)=0,\quad x=0,\;4.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{4}(5-(x^2-4x+5))\,dx=\int_{0}^{4}(4x-x^2)\,dx=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{4}=\frac{32}{3}.$$
$$y=2+x-x^2,\quad y=2-x$$
Точки пересечения:
$$2+x-x^2=2-x,\quad x^2-2x=0,\quad x=0,\;2.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{2}\bigl((2+x-x^2)-(2-x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}=\frac{4}{3}.$$
$$y=x^2+2,\quad y=x+4$$
Точки пересечения:
$$x^2+2=x+4,\quad x^2-x-2=0,\quad x=-1,\;2.$$
Тогда
$$S=\int_{-1}^{2}\bigl((x+4)-(x^2+2)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2}=\frac{9}{2}.$$
$$y=x^2+2x+1,\quad y=x+3$$
Точки пересечения:
$$x^2+2x+1=x+3,\quad x^2+x-2=0,\quad x=-2,\;1.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{1}\bigl((x+3)-(x^2+2x+1)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}=\frac{9}{2}.$$
$$y=-x^2+2x,\quad y=x^2$$
Точки пересечения:
$$-x^2+2x=x^2,\quad 2x^2-2x=0,\quad x=0,\;1.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{1}\bigl((-x^2+2x)-x^2\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}(2x-2x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.$$
$$y=x^3,\quad y=x^2$$
Точки пересечения:
$$x^3=x^2,\quad x^2(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{1}(x^2-x^3)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{12}.$$
$$y=e^x,\quad y=e,\quad x=0$$
Точка пересечения:
$$e^x=e,\quad x=1.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{1}(e-e^x)\,dx=\left(ex-e^x\right)\Bigg|_{0}^{1}=1.$$
$$y=\frac{7}{x},\quad x+y=8$$
Из второго уравнения:
$$y=8-x.$$
Точки пересечения:
$$\frac{7}{x}=8-x,\quad x^2-8x+7=0,\quad x=1,\;7.$$
Тогда
$$S=\int_{1}^{7}\left(\frac{7}{x}-(8-x)\right)\,dx=\int_{1}^{7}\left(\frac{7}{x}-8+x\right)\,dx=\left(7\ln|x|-8x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{1}^{7}=24-7\ln 7.$$
$$y=\frac{2}{x^2},\quad y=2x,\quad x=2$$
Точка пересечения:
$$\frac{2}{x^2}=2x,\quad x^3=1,\quad x=1.$$
Тогда
$$S=\int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x^2}-2x\right)\,dx=\left(-\frac{2}{x}-x^2\right)\Bigg|_{1}^{2}=2.$$
$$y=\sin x,\quad y=\cos x,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{4}$$
На отрезке $$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$$ сверху находится $$y=\cos x$$.
Тогда
$$S=\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx=\left(\sin x+\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4}=\sqrt{2}-1.$$