Упр.10.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Функции $$F_1$$ и $$F_2$$ являются первообразными функции $$f$$ на промежутке $$(-?; +?)$$. График функции $$F_1$$ проходит через точку $$A$$, а функции $$F_2$$ — через точку $$B$$. График какой из функций, $$F_1$$ или $$F_2$$, расположен выше, если:

1. $$f(x)=5x^4-3x^2-2$$, $$A(1; 2)$$, $$B(0; 5)$$;
2. $$f(x)=(2x-1)^2$$, $$A(2; 6)$$, $$B(-1; 1)$$?

1. Найдём первообразную функции $$f(x)=5x^4-3x^2-2$$:

   $$F(x)=\int (5x^4-3x^2-2)\,dx=x^5-x^3-2x+C.$$

   Для функции $$F_1$$, проходящей через точку $$A(1;2)$$, получаем:

   $$F_1(1)=1-1-2+C=-2+C=2,$$

   откуда $$C=4.$$ Значит,

   $$F_1(x)=x^5-x^3-2x+4.$$

   Для функции $$F_2$$, проходящей через точку $$B(0;5)$$, имеем:

   $$F_2(0)=0-0-0+C=5,$$

   откуда $$C=5.$$ Значит,

   $$F_2(x)=x^5-x^3-2x+5.$$

   Так как $$F_2(x)=F_1(x)+1,$$ то график $$F_2$$ расположен выше.

2. Найдём первообразную функции $$f(x)=(2x-1)^2$$:

   $$F(x)=\int (2x-1)^2\,dx=\frac{(2x-1)^3}{6}+C.$$

   Для функции $$F_1$$, проходящей через точку $$A(2;6)$$:

   $$F_1(2)=\frac{(2\cdot 2-1)^3}{6}+C=\frac{27}{6}+C=6,$$

   откуда

   $$C=6-\frac{27}{6}=6-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}.$$

   Для функции $$F_2$$, проходящей через точку $$B(-1;1)$$:

   $$F_2(-1)=\frac{(2\cdot(-1)-1)^3}{6}+C=\frac{(-3)^3}{6}+C=-\frac{27}{6}+C=1,$$

   откуда

   $$C=1+\frac{27}{6}=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}.$$

   Так как $$\frac{11}{2}>\frac{3}{2},$$ то график $$F_2$$ расположен выше.

Ответ

1) $$F_2$$; 2) $$F_2$$.