Упр.10.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)=4x^3+4x$$ найдите первообразную $$F$$, один из нулей которой равен $$-1$$. Найдите остальные нули этой первообразной.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=4x^3+4x.$$

$$F(x)=\int (4x^3+4x)\,dx=x^4+2x^2+C.$$

По условию один из нулей этой первообразной равен $$-1,$$ значит

$$F(-1)=0.$$

Подставим:

$$(-1)^4+2(-1)^2+C=0,$$

$$1+2+C=0,$$

$$C=-3.$$

Следовательно,

$$F(x)=x^4+2x^2-3.$$

Найдём нули функции:

$$x^4+2x^2-3=0.$$

Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2+2t-3=0,$$

$$(t+3)(t-1)=0,$$

$$t=-3 \text{ или } t=1.$$

Так как $$t=x^2\ge 0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит. Остаётся

$$x^2=1,$$

откуда

$$x=\pm 1.$$

Один корень уже известен: $$x=-1.$$ Тогда другой нуль первообразной — $$x=1.$$

Ответ

$$F(x)=x^4+2x^2-3,$$ остальные нули: $$x=1.$$