Упр.10.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 10.7. Для функции f(x)=4x^3+4x найдите первообразную F, один из нулей которой равен -1. Найдите остальные нули этой первообразной.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=4x^3+4x$$:

$$ F(x)=\int (4x^3+4x)\,dx=x^4+2x^2+C. $$

Так как один из нулей первообразной равен $$-1$$, подставим это значение:

$$ F(-1)=(-1)^4+2(-1)^2+C=1+2+C=0, $$

откуда

$$ C=-3. $$

Следовательно,

$$ F(x)=x^4+2x^2-3. $$

Найдём остальные нули этой первообразной:

$$ x^4+2x^2-3=0. $$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$ t^2+2t-3=0, $$

$$ (t+3)(t-1)=0. $$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=-3$$. Но $$t=x^2\ge 0$$, значит подходит только $$t=1$$:

$$ x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1. $$

Один корень уже известен: $$x=-1$$. Значит, другой нуль первообразной — $$x=1$$.

Ответ

$$F(x)=x^4+2x^2-3,$$ остальные нули: $$x=1$$.