Упр.10.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, график которой проходит через данную точку:
1) $$f(x)=3-6x$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$A(-1;0)$$;
2) $$f(x)=4x^3-6x^2+1$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$B(1;5)$$;
3) $$f(x)=2x-\frac{1}{\sqrt{x}}$$, $$I=(0;+\infty)$$, $$C(4;10)$$;
4) $$f(x)=2\sin(3x)$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$D\left(\frac{\pi}{3};0\right)$$;
5) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2}-2}}$$, $$I=(4;+\infty)$$, $$E(6;12)$$;
6) $$f(x)=e^{2x+1}$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$M\left(-\frac{1}{2};4\right)$$;
7) $$f(x)=\frac{1}{4x-3e^2}$$, $$I=\left(\frac{3e^2}{4};+\infty\right)$$, $$K(e^2;6)$$;
8) $$f(x)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{8}\right)}$$, $$I=(0;8\pi)$$, $$N(2\pi;-2)$$.
$$f(x)=3-6x$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=\int (3-6x)\,dx=3x-3x^2+C.$$
Так как график проходит через точку $$A(-1;0)$$, то
$$F(-1)=-3-3+C=0,$$
откуда $$C=6.$$
Следовательно,
$$F(x)=3x-3x^2+6.$$
$$f(x)=4x^3-6x^2+1$$
$$F(x)=\int (4x^3-6x^2+1)\,dx=x^4-2x^3+x+C.$$
Из условия $$B(1;5)$$ получаем:
$$F(1)=1-2+1+C=5,$$
значит, $$C=5.$$
Итак,
$$F(x)=x^4-2x^3+x+5.$$
$$f(x)=2x-\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x>0$$
$$F(x)=\int \left(2x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx=x^2-2\sqrt{x}+C.$$
Так как $$C(4;10)$$, то
$$F(4)=16-2\cdot 2+C=10,$$
откуда $$C=-2.$$
Следовательно,
$$F(x)=x^2-2\sqrt{x}-2.$$
$$f(x)=2\sin(3x)$$
$$F(x)=\int 2\sin(3x)\,dx=-\frac{2}{3}\cos(3x)+C.$$
Из условия $$D\left(\frac{\pi}{3};0\right)$$:
$$F\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{2}{3}\cos \pi + C=0,$$
значит, $$\frac{2}{3}+C=0,$$ откуда $$C=-\frac{2}{3}.$$
Итак,
$$F(x)=-\frac{2}{3}\cos(3x)-\frac{2}{3}.$$
$$f(x)=\frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2}-2}}, \quad x>4$$
$$F(x)=\int \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2}-2}}\,dx=8\sqrt{\frac{x}{2}-2}+C.$$
Так как $$E(6;12)$$, то
$$F(6)=8\sqrt{3-2}+C=12,$$
следовательно, $$C=4.$$
Ответ:
$$F(x)=8\sqrt{\frac{x}{2}-2}+4.$$
$$f(x)=e^{2x+1}$$
$$F(x)=\int e^{2x+1}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x+1}+C.$$
Из условия $$M\left(-\frac{1}{2};4\right)$$:
$$F\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}e^{-1+1}+C=4,$$
значит, $$\frac{1}{2}+C=4,$$ откуда $$C=\frac{7}{2}.$$
Следовательно,
$$F(x)=\frac{1}{2}e^{2x+1}+\frac{7}{2}.$$
$$f(x)=\frac{1}{4x-3e^2}, \quad x>\frac{3e^2}{4}$$
$$F(x)=\int \frac{1}{4x-3e^2}\,dx=\frac{1}{4}\ln(4x-3e^2)+C.$$
Так как $$K(e^2;6)$$, то
$$F(e^2)=\frac{1}{4}\ln(4e^2-3e^2)+C=6,$$
$$\frac{1}{4}\ln(e^2)+C=6,$$
$$\frac{1}{2}+C=6,$$
откуда $$C=\frac{11}{2}.$$
Итак,
$$F(x)=\frac{1}{4}\ln(4x-3e^2)+\frac{11}{2}.$$
$$f(x)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{8}\right)}, \quad x\in(0;8\pi)$$
$$F(x)=\int \frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{8}\right)}\,dx=-8\ctg\frac{x}{8}+C.$$
Из условия $$N(2\pi;-2)$$:
$$F(2\pi)=-8\ctg\frac{\pi}{4}+C=-2,$$
$$-8+C=-2,$$
откуда $$C=6.$$
Следовательно,
$$F(x)=-8\ctg\frac{x}{8}+6.$$
Ответ
- $$F(x)=3x-3x^2+6$$
- $$F(x)=x^4-2x^3+x+5$$
- $$F(x)=x^2-2\sqrt{x}-2$$
- $$F(x)=-\frac{2}{3}\cos(3x)-\frac{2}{3}$$
- $$F(x)=8\sqrt{\frac{x}{2}-2}+4$$
- $$F(x)=\frac{1}{2}e^{2x+1}+\frac{7}{2}$$
- $$F(x)=\frac{1}{4}\ln(4x-3e^2)+\frac{11}{2}$$
- $$F(x)=-8\ctg\frac{x}{8}+6$$
