Упр.10.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=1-2x$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$F(3)=2$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=3x^2-4x$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$F(1)=4$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{2}$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$F(\pi)=7$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$F\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=4-\frac{1}{x^2}$$, $$I=(0;+\infty)$$, $$F\left(\frac{1}{4}\right)=1$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=\frac{7}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}$$, $$I=(4;+\infty)$$, $$F(5)=6$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{6x+1}}$$, $$I=\left(-\frac{1}{6};+\infty\right)$$, $$F(4)=7$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=e^{3x}$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$F(0)=1$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=(2-3x)^2$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$F(1)=0$$.
- Для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ найдите первообразную $$F$$, удовлетворяющую данному условию: $$f(x)=\frac{4}{\cos^2\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)}$$, $$I=\left(-\frac{\infty}{18};\frac{\pi}{9}\right)$$, $$F(0)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}$$.
$$f(x)=1-2x,\quad F'(x)=f(x)$$
$$F(x)=\int (1-2x)\,dx=x-x^2+C$$
Из условия $$F(3)=2$$ получаем:
$$3-9+C=2,\quad C=8$$
$$F(x)=x-x^2+8$$
$$f(x)=3x^2-4x$$
$$F(x)=\int (3x^2-4x)\,dx=x^3-2x^2+C$$
Из условия $$F(1)=4$$:
$$1-2+C=4,\quad C=5$$
$$F(x)=x^3-2x^2+5$$
$$f(x)=\frac13\sin\frac{x}{3}+\frac12\cos\frac{x}{2}$$
$$F(x)=\int \left(\frac13\sin\frac{x}{3}+\frac12\cos\frac{x}{2}\right)dx=-\cos\frac{x}{3}+\sin\frac{x}{2}+C$$
Из условия $$F(\pi)=7$$:
$$-\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{2}+C=7$$
$$-\frac12+1+C=7,\quad C=\frac{13}{2}$$
$$F(x)=\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{3}+\frac{13}{2}$$
$$f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)$$
$$F(x)=\int \cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)dx=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+C$$
Из условия $$F\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$$:
$$\frac13\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+C=2$$
$$\frac13+C=2,\quad C=\frac53$$
$$F(x)=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac53$$
$$f(x)=4-\frac{1}{x^2},\quad x>0$$
$$F(x)=\int \left(4-\frac{1}{x^2}\right)dx=4x+\frac{1}{x}+C$$
Из условия $$F\left(\frac14\right)=1$$:
$$4\cdot\frac14+\frac{1}{1/4}+C=1$$
$$1+4+C=1,\quad C=-4$$
$$F(x)=4x+\frac{1}{x}-4$$
$$f(x)=\frac{7}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x+4}},\quad x>4$$
$$F(x)=\int \left(\frac{7}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}\right)dx=7\ln(x-4)+2\sqrt{x+4}+C$$
Из условия $$F(5)=6$$:
$$7\ln 1+2\sqrt{9}+C=6$$
$$0+6+C=6,\quad C=0$$
$$F(x)=7\ln(x-4)+2\sqrt{x+4}$$
$$f(x)=\frac{3}{\sqrt{6x+1}},\quad x>-\frac16$$
$$F(x)=\int \frac{3}{\sqrt{6x+1}}\,dx=\sqrt{6x+1}+C$$
Из условия $$F(4)=7$$:
$$\sqrt{25}+C=7$$
$$5+C=7,\quad C=2$$
$$F(x)=\sqrt{6x+1}+2$$
$$f(x)=e^{3x}$$
$$F(x)=\int e^{3x}dx=\frac13 e^{3x}+C$$
Из условия $$F(0)=1$$:
$$\frac13 e^0+C=1,\quad \frac13+C=1,\quad C=\frac23$$
$$F(x)=\frac13 e^{3x}+\frac23$$
$$f(x)=(2-3x)^2$$
$$F(x)=\int (2-3x)^2dx=-\frac{(2-3x)^3}{9}+C=\frac{(3x-2)^3}{9}+C$$
Из условия $$F(1)=0$$:
$$\frac{1}{9}+C=0,\quad C=-\frac19$$
$$F(x)=\frac{(3x-2)^3}{9}-\frac19$$
$$f(x)=\frac{4}{\cos^2\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)},\quad -\frac{\pi}{18}<x<\frac{\pi}{9}$$
$$F(x)=\int \frac{4}{\cos^2\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac23\tan\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)+C$$
Из условия $$F(0)=-\frac{2\sqrt3}{9}$$:
$$\frac23\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C=-\frac{2\sqrt3}{9}$$
$$\frac23\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+C=-\frac{2\sqrt3}{9}$$
$$-\frac{2\sqrt3}{9}+C=-\frac{2\sqrt3}{9},\quad C=0$$
$$F(x)=\frac23\tan\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)$$
Ответ
- $$F(x)=x-x^2+8$$
- $$F(x)=x^3-2x^2+5$$
- $$F(x)=\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{3}+\frac{13}{2}$$
- $$F(x)=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac53$$
- $$F(x)=4x+\frac{1}{x}-4$$
- $$F(x)=7\ln(x-4)+2\sqrt{x+4}$$
- $$F(x)=\sqrt{6x+1}+2$$
- $$F(x)=\frac13 e^{3x}+\frac23$$
- $$F(x)=\frac{(3x-2)^3}{9}-\frac19$$
- $$F(x)=\frac23\tan\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)$$
