Упр.10.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 10.10. Функции F_1 и F_2 являются первообразными функции f(x)=1/v(5x-1) на промежутке (1/5; +?). График функции F_1 проходит через точку M(1; 9), а функции F_2 — через точку N(10; 8). График какой из функций, F_1 или F_2, расположен выше?

Найдём первообразную функции $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{5x-1}}$$ на промежутке $$\left(\frac15;+\infty\right).$$

Положим $$u=5x-1,$$ тогда $$du=5\,dx,$$ откуда $$dx=\frac{du}{5}.$$

Тогда

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{5x-1}} =\frac15\int u^{-\frac12}\,du =\frac15\cdot 2u^{\frac12}+C =\frac25\sqrt{5x-1}+C. $$

Значит,

$$F(x)=\frac25\sqrt{5x-1}+C.$$

Для функции $$F_1$$ имеем:

$$ F_1(1)=\frac25\sqrt{5\cdot 1-1}+C=\frac25\cdot 2+C=\frac45+C=9, $$

откуда

$$C=9-\frac45=\frac{41}{5}.$$

Для функции $$F_2$$:

$$ F_2(10)=\frac25\sqrt{5\cdot 10-1}+C=\frac25\cdot 7+C=\frac{14}{5}+C=8, $$

откуда

$$C=8-\frac{14}{5}=\frac{26}{5}.$$

Сравним значения функций при одном и том же $$x$$:

$$ F_1(x)-F_2(x)=\left(\frac25\sqrt{5x-1}+\frac{41}{5}\right)-\left(\frac25\sqrt{5x-1}+\frac{26}{5}\right)=3. $$

Разность положительна, значит график $$F_1$$ расположен выше графика $$F_2$$ на всём промежутке.

Ответ

График функции $$F_1$$ расположен выше графика функции $$F_2$$.