Упр.10.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

(a+b)/(va+vb):((a+b)/(a-b)-b/(b-v(ab))+a/(v(ab)+a))-v(a+b-2v(ab))/2.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}. $$

Заметим, что

$$ a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2, $$
поэтому
$$ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=|\sqrt a-\sqrt b|. $$

Упростим выражение в скобках:

$$ \frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{a+b}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} -\frac{b}{\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)} +\frac{a}{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)}. $$

После приведения к общему знаменателю получаем:

$$ \frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{a+b+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)+\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}. $$

Числитель упрощается:

$$ a+b+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)+\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b) = a+b+\sqrt{ab}+b+a-\sqrt{ab}=2(a+b). $$

Тогда

$$ \frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right) = \frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\frac{2(a+b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} = \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}. $$

Следовательно, всё выражение равно

$$ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{|\sqrt a-\sqrt b|}{2}. $$

Рассмотрим два случая:

если $$0<b<a,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b>0,$$ и тогда
$$ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}=0; $$
если $$0<a<b,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b<0,$$ и тогда
$$ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{\sqrt b-\sqrt a}{2}=\sqrt a-\sqrt b. $$