Упр.10.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Упростите выражение $$\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}$$.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}.$$

Заметим, что

$$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2,$$
поэтому
$$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=|\sqrt a-\sqrt b|.$$

Упростим выражение в скобках:

$$\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{a+b}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} -\frac{b}{\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)} +\frac{a}{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)}.$$

После приведения к общему знаменателю получаем:

$$\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{a+b+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)+\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}.$$

Числитель упрощается:

$$a+b+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)+\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b) = a+b+\sqrt{ab}+b+a-\sqrt{ab}=2(a+b).$$

Тогда

$$\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right) = \frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\frac{2(a+b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} = \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}.$$

Следовательно, всё выражение равно

$$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{|\sqrt a-\sqrt b|}{2}.$$

Рассмотрим два случая:

если $$0<b<a,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b>0,$$ и тогда
$$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}=0;$$
если $$0<a<b,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b<0,$$ и тогда
$$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{\sqrt b-\sqrt a}{2}=\sqrt a-\sqrt b.$$