Упр.10.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 10.20. Для функции f(x)=x+1 найдите такую первообразную, что её график имеет только одну общую точку с прямой y=-4.

Первообразная для функции $$f(x)=x+1$$ имеет вид

$$F(x)=\frac12x^2+x+C.$$

Чтобы график функции $$y=F(x)$$ имел только одну общую точку с прямой $$y=-4,$$ эта прямая должна касаться параболы. Значит, уравнение

$$\frac12x^2+x+C=-4$$

должно иметь единственный корень.

Преобразуем:

$$\frac12x^2+x+(C+4)=0.$$

Для единственного корня дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=1-2(C+4)=0.$$

Отсюда

$$1-2C-8=0,$$

$$-2C=7,$$

$$C=-\frac72.$$

Тогда искомая первообразная:

$$F(x)=\frac12x^2+x-\frac72.$$

Ответ

$$F(x)=\frac12x^2+x-\frac72.$$