Упр.10.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=x+3;
2) f(x)=x^2+4x-1;
3) f(x)=(x^3+x)/(x^2+1);
4) f(x)=(1/2)e^x+2^x ln 2;
5) f(x)=9/cos^2(x)-3sin(x) на промежутке (-?/2; ?/2);
6) f(x)=5x^(1/4)-3/2 на промежутке (0; +?);
7) f(x)=6x^2-2/x^2 на промежутке (0; +?);
8) f(x)=9/x^10+8/x^9 на промежутке (-?; 0).

1. $$f(x)=x+3$$

   Найдём первообразную по частям:

   $$F(x)=\int (x+3)\,dx=\int x\,dx+\int 3\,dx=\frac{x^2}{2}+3x+C.$$

2. $$f(x)=x^2+4x-1$$

   $$F(x)=\int (x^2+4x-1)\,dx=\frac{x^3}{3}+2x^2-x+C.$$

3. $$f(x)=\frac{x^3+x}{x^2+1}$$

   Так как $$x^3+x=x(x^2+1),$$ то

   $$f(x)=x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C.$$

4. $$f(x)=\frac12 e^x+2^x\ln 2$$

   $$F(x)=\int \left(\frac12 e^x+2^x\ln 2\right)\,dx=\frac12 e^x+2^x+C.$$

5. $$f(x)=\frac{9}{\cos^2 x}-3\sin x,\quad \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$

   $$F(x)=\int \left(\frac{9}{\cos^2 x}-3\sin x\right)\,dx=9\tan x+3\cos x+C.$$

6. $$f(x)=5x^{\frac14}-\frac{3}{x},\quad (0;+\infty)$$

   $$F(x)=\int \left(5x^{\frac14}-\frac{3}{x}\right)\,dx=4x^{\frac54}-3\ln x+C.$$

7. $$f(x)=6x^2-\frac{2}{x^2},\quad (0;+\infty)$$

   $$F(x)=\int \left(6x^2-\frac{2}{x^2}\right)\,dx=2x^3+\frac{2}{x}+C.$$

8. $$f(x)=\frac{9}{x^{10}}+\frac{8}{x^9},\quad (-\infty;0)$$

   $$F(x)=\int \left(9x^{-10}+8x^{-9}\right)\,dx=-x^{-9}-x^{-8}+C.$$

Ответ

1) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+3x+C$$
2) $$F(x)=\frac{x^3}{3}+2x^2-x+C$$
3) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+C$$
4) $$F(x)=\frac12 e^x+2^x+C$$
5) $$F(x)=9\tan x+3\cos x+C$$
6) $$F(x)=4x^{\frac54}-3\ln x+C$$
7) $$F(x)=2x^3+\frac{2}{x}+C$$
8) $$F(x)=-\frac{1}{x^9}-\frac{1}{x^8}+C$$