Упр.10.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 10.19. Для функции f(x)=-2x+5 найдите такую первообразную, что её график имеет только одну общую точку с прямой у=2.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=-2x+5$$:

$$F(x)=\int(-2x+5)\,dx=-x^2+5x+C.$$

График этой первообразной должен иметь с прямой $$y=2$$ только одну общую точку, значит прямая $$y=2$$ касается параболы $$y=F(x)$$. Тогда уравнение

$$-x^2+5x+C=2$$

должно иметь единственный корень, то есть дискриминант равен нулю:

$$-x^2+5x+(C-2)=0.$$

Для касания удобнее найти вершину параболы. Абсцисса вершины:

$$x=\frac{-5}{2\cdot(-1)}=\frac52.$$

В точке касания значение функции равно $$2$$, значит

$$F\!\left(\frac52\right)=2.$$

Подставим:

$$-\left(\frac52\right)^2+5\cdot\frac52+C=2$$

$$-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}+C=2$$

$$\frac{25}{4}+C=2$$

$$C=2-\frac{25}{4}=-\frac{17}{4}.$$

Следовательно, искомая первообразная:

$$F(x)=-x^2+5x-\frac{17}{4}.$$

Ответ

$$F(x)=-x^2+5x-\frac{17}{4}.$$