Упр.10.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Для функции $$f(x)=x^2-4$$ найдите такую первообразную, что прямая $$y=-3$$ является касательной к её графику.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^2-4$$:

$$F(x)=\int (x^2-4)\,dx=\frac{x^3}{3}-4x+C.$$

Так как прямая $$y=-3$$ является касательной к графику $$F(x)$$, то в точке касания должно выполняться:

$$F'(x)=0,$$

а значит

$$x^2-4=0.$$

Отсюда

$$x=\pm 2.$$

Найдём соответствующие значения константы $$C$$.

1) При $$x=-2$$:

$$F(-2)=\frac{(-2)^3}{3}-4(-2)+C=-\frac{8}{3}+8+C=-3,$$

$$C=-3-8+\frac{8}{3}=-\frac{25}{3}.$$

Тогда

$$F_1(x)=\frac{x^3}{3}-4x-\frac{25}{3}.$$

2) При $$x=2$$:

$$F(2)=\frac{2^3}{3}-4\cdot 2+C=\frac{8}{3}-8+C=-3,$$

$$C=-3+8-\frac{8}{3}=\frac{7}{3}.$$

Тогда

$$F_2(x)=\frac{x^3}{3}-4x+\frac{7}{3}.$$

Ответ

$$F(x)=\frac{x^3}{3}-4x-\frac{25}{3}$$ или $$F(x)=\frac{x^3}{3}-4x+\frac{7}{3}.$$