Упр.10.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 10.18. Для функции f(x)=x^2-4 найдите такую первообразную, что прямая y=-3 является касательной к её графику.

Первообразная для функции $$f(x)=x^2-4$$ имеет вид

$$F(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+C.$$

Если прямая $$y=-3$$ является касательной к графику $$y=F(x),$$ то в точке касания касательная горизонтальна, значит

$$F'(x)=0.$$

Но $$F'(x)=x^2-4,$$ поэтому

$$x^2-4=0,$$

$$x=\pm 2.$$

Найдём значение первообразной в этих точках и потребуем, чтобы оно было равно $$-3$$.

1) При $$x=-2$$:

$$F(-2)=\frac{1}{3}(-2)^3-4(-2)+C=-\frac{8}{3}+8+C=\frac{16}{3}+C.$$

Тогда

$$\frac{16}{3}+C=-3,$$

$$C=-3-\frac{16}{3}=-\frac{25}{3}.$$

2) При $$x=2$$:

$$F(2)=\frac{1}{3}\cdot 2^3-4\cdot 2+C=\frac{8}{3}-8+C=-\frac{16}{3}+C.$$

Тогда

$$-\frac{16}{3}+C=-3,$$

$$C=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}.$$

Следовательно, искомая первообразная может быть одной из двух:

$$F(x)=\frac{1}{3}x^3-4x-\frac{25}{3}$$

или

$$F(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+\frac{7}{3}.$$

Ответ

$$F(x)=\frac{1}{3}x^3-4x-\frac{25}{3}$$ или $$F(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+\frac{7}{3}.$$