Упр.10.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 10.17. Для функции f(x)=2x^2+3x найдите такую первообразную, что прямая y=5x-2 является касательной к её графику.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=2x^2+3x$$:

$$F(x)=\int (2x^2+3x)\,dx=\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+C.$$

Если прямая $$y=5x-2$$ является касательной к графику $$F(x),$$ то в точке касания выполняется условие

$$F'(x)=5.$$

Так как $$F'(x)=2x^2+3x,$$ получаем:

$$2x^2+3x=5$$

$$2x^2+3x-5=0$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{4},$$

откуда

$$x_1=1,\qquad x_2=-\frac52.$$

Найдём соответствующие значения первообразной.

1) При $$x=1$$ точка касания лежит на прямой:

$$y=5\cdot 1-2=3.$$

Подставим в $$F(x):$$

$$\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+C=3$$

$$\frac{13}{6}+C=3$$

$$C=\frac{5}{6}.$$

2) При $$x=-\frac52$$:

$$y=5\left(-\frac52\right)-2=-\frac{29}{2}.$$

Подставим в $$F(x):$$

$$\frac{2}{3}\left(-\frac52\right)^3+\frac{3}{2}\left(-\frac52\right)^2+C=-\frac{29}{2}$$

$$-\frac{125}{12}+\frac{75}{8}+C=-\frac{29}{2}$$

$$-\frac{25}{24}+C=-\frac{29}{2}$$

$$C=-\frac{323}{24}.$$

Следовательно, искомые первообразные:

$$F_1(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-\frac{323}{24},$$

$$F_2(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\frac{5}{6}.$$

Ответ

$$F(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\frac{5}{6}$$ или $$F(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-\frac{323}{24}.$$