Упр.10.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ?sin^2(x)dx; 2) ?sin(5x)cos(3x)dx; 3) ?sin(7x/3)sin(5x/3)dx.

Используем формулы:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$

$$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr),$$

$$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr).$$

1. $$\int \sin^2 x\,dx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx$$

   $$=\frac12\int 1\,dx-\frac12\int \cos 2x\,dx$$

   $$=\frac{x}{2}-\frac14\sin 2x+C.$$

2. $$\int \sin 5x\cos 3x\,dx=\frac12\int \bigl(\sin 8x+\sin 2x\bigr)\,dx$$

   $$=\frac12\left(-\frac{\cos 8x}{8}-\frac{\cos 2x}{2}\right)+C$$

   $$=-\frac{\cos 8x}{16}-\frac{\cos 2x}{4}+C.$$

3. $$\int \sin \frac{7x}{3}\sin \frac{5x}{3}\,dx=\frac12\int \left(\cos \frac{2x}{3}-\cos 4x\right)\,dx$$

   $$=\frac12\left(\frac{3}{2}\sin \frac{2x}{3}-\frac14\sin 4x\right)+C$$

   $$=\frac34\sin \frac{2x}{3}-\frac18\sin 4x+C.$$

Ответ

$$1)\ \frac{x}{2}-\frac14\sin 2x+C;$$

$$2)\ -\frac{\cos 8x}{16}-\frac{\cos 2x}{4}+C;$$

$$3)\ \frac34\sin \frac{2x}{3}-\frac18\sin 4x+C.$$