Упр.10.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. $$f(x)=4-2x$$

   Находим первообразную по частям:

   $$F(x)=\int (4-2x)\,dx=4x-x^2+C.$$

2. $$f(x)=3x^2-x+5$$
   $$F(x)=\int (3x^2-x+5)\,dx=x^3-\frac{x^2}{2}+5x+C.$$
3. $$f(x)=5\sin x+\cos x$$
   $$F(x)=\int (5\sin x+\cos x)\,dx=-5\cos x+\sin x+C.$$
4. $$f(x)=x^3(2-x^2)=2x^3-x^5$$
   $$F(x)=\int (2x^3-x^5)\,dx=\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+C.$$
5. $$f(x)=5e^x-2\cdot 3^x$$
   $$F(x)=\int (5e^x-2\cdot 3^x)\,dx=5e^x-\frac{2\cdot 3^x}{\ln 3}+C.$$
6. $$f(x)=\frac{6}{x}-x^3,\quad x\in(-\infty;0)$$

   Так как $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, поэтому

   $$F(x)=\int \left(\frac{6}{x}-x^3\right)\,dx=6\ln|x|-\frac{x^4}{4}+C=6\ln(-x)-\frac{x^4}{4}+C.$$

7. $$f(x)=\frac{9}{\sin^2 x}+\frac{x^4}{4},\quad x\in(0;\pi)$$
   $$F(x)=\int \left(\frac{9}{\sin^2 x}+\frac{x^4}{4}\right)\,dx=-9\ctg x+\frac{x^5}{20}+C.$$
8. $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+x^3,\quad x\in(0;+\infty)$$
   $$F(x)=\int \left(4x^{-\frac12}+x^3\right)\,dx=8\sqrt{x}+\frac{x^4}{4}+C.$$
9. $$f(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^4},\quad x\in(-\infty;0)$$
   $$F(x)=\int \left(x^{-3}+3x^{-4}\right)\,dx=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{x^3}+C.$$
10. $$f(x)=\sqrt{x}-\frac{6}{x^5},\quad x\in(0;+\infty)$$
    $$F(x)=\int \left(x^{1/2}-6x^{-5}\right)\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{3}{2x^4}+C.$$

Ответ

1. $$F(x)=4x-x^2+C$$
2. $$F(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+5x+C$$
3. $$F(x)=-5\cos x+\sin x+C$$
4. $$F(x)=\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+C$$
5. $$F(x)=5e^x-\frac{2\cdot 3^x}{\ln 3}+C$$
6. $$F(x)=6\ln(-x)-\frac{x^4}{4}+C$$
7. $$F(x)=-9\ctg x+\frac{x^5}{20}+C$$
8. $$F(x)=8\sqrt{x}+\frac{x^4}{4}+C$$
9. $$F(x)=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{x^3}+C$$
10. $$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{3}{2x^4}+C$$