Упр.10.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите общий вид первообразных функции:
1) $$f(x)=4-2x$$;
2) $$f(x)=3x^2-x+5$$;
3) $$f(x)=5\sin(x)+\cos(x)$$;
4) $$f(x)=x^3(2-x^2)$$;
5) $$f(x)=5e^x-2\cdot3^x$$;
6) $$f(x)=\frac{6}{x}-x^3$$ на промежутке $$(-\infty;0)$$;
7) $$f(x)=\frac{9}{\sin^2(x)}+\frac{x^4}{4}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
8) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+x^3$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
9) $$f(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^4}$$ на промежутке $$(-\infty;0)$$;
10) $$f(x)=\sqrt{x}-\frac{6}{x^5}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$.
- $$f(x)=4-2x$$
$$F(x)=\int (4-2x)\,dx=4x-x^2+C.$$
- $$f(x)=3x^2-x+5$$
$$F(x)=\int (3x^2-x+5)\,dx=x^3-\frac{x^2}{2}+5x+C.$$
- $$f(x)=5\sin x+\cos x$$
$$F(x)=\int (5\sin x+\cos x)\,dx=-5\cos x+\sin x+C.$$
- $$f(x)=x^3(2-x^2)=2x^3-x^5$$
$$F(x)=\int (2x^3-x^5)\,dx=\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+C.$$
- $$f(x)=5e^x-2\cdot 3^x$$
$$F(x)=\int (5e^x-2\cdot 3^x)\,dx=5e^x-\frac{2\cdot 3^x}{\ln 3}+C.$$
- $$f(x)=\frac{6}{x}-x^3,\quad x\in(-\infty;0)$$
$$F(x)=\int \left(\frac{6}{x}-x^3\right)\,dx=6\ln|x|-\frac{x^4}{4}+C.$$
Так как $$x<0,$$ то $$\ln|x|=\ln(-x).$$ Поэтому
$$F(x)=6\ln(-x)-\frac{x^4}{4}+C.$$ - $$f(x)=\frac{9}{\sin^2 x}+\frac{x^4}{4},\quad x\in(0;\pi)$$
$$F(x)=\int \left(\frac{9}{\sin^2 x}+\frac{x^4}{4}\right)\,dx =-9\ctg x+\frac{x^5}{20}+C.$$
- $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+x^3,\quad x\in(0;+\infty)$$
$$F(x)=\int \left(\frac{4}{\sqrt{x}}+x^3\right)\,dx =8\sqrt{x}+\frac{x^4}{4}+C.$$
- $$f(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^4},\quad x\in(-\infty;0)$$
$$F(x)=\int \left(x^{-3}+3x^{-4}\right)\,dx =-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{x^3}+C.$$
- $$f(x)=\sqrt{x}-\frac{6}{x^5},\quad x\in(0;+\infty)$$
$$F(x)=\int \left(x^{1/2}-6x^{-5}\right)\,dx =\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{3}{2x^4}+C.$$
Ответ
1) $$F(x)=4x-x^2+C;$$
2) $$F(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+5x+C;$$
3) $$F(x)=-5\cos x+\sin x+C;$$
4) $$F(x)=\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+C;$$
5) $$F(x)=5e^x-\frac{2\cdot 3^x}{\ln 3}+C;$$
6) $$F(x)=6\ln(-x)-\frac{x^4}{4}+C;$$
7) $$F(x)=-9\ctg x+\frac{x^5}{20}+C;$$
8) $$F(x)=8\sqrt{x}+\frac{x^4}{4}+C;$$
9) $$F(x)=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{x^3}+C;$$
10) $$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{3}{2x^4}+C.$$
