Упр.1.50 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции $$y=\frac{2^x-1}{2^x-4}$$.

Пусть $$t=2^x.$$ Тогда $$t>0$$ и функция принимает вид

$$y=\frac{t-1}{t-4}.$$

Выразим $$t$$ через $$y$$:

$$y(t-4)=t-1$$

$$yt-4y=t-1$$

$$t(y-1)=4y-1$$

$$t=\frac{4y-1}{y-1}.$$

Так как $$t=2^x>0,$$ то должно выполняться неравенство

$$\frac{4y-1}{y-1}>0.$$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Критические точки: $$y=\frac14$$ и $$y=1.$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$y<\frac14 \quad \text{или} \quad y>1.$$

Значение $$y=\frac14$$ не подходит, так как тогда $$4y-1=0$$ и получилось бы $$t=0,$$ а это невозможно. Значение $$y=1$$ тоже не подходит, так как знаменатель обращается в нуль.

Ответ

$$E(y)=\left(-\infty;\frac14\right)\cup(1;+\infty).$$