Упр.1.49 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Исследуйте на чётность функцию $$y=(\sqrt{2}+1)^x-(\sqrt{2}-1)^x$$.

Область определения функции: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=(\sqrt{2}+1)^{-x}-(\sqrt{2}-1)^{-x}$$
$$=\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^x-\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^x$$

Так как

$$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,\qquad \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1,$$

то

$$y(-x)=(\sqrt{2}-1)^x-(\sqrt{2}+1)^x=-\bigl((\sqrt{2}+1)^x-(\sqrt{2}-1)^x\bigr)=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

Ответ

Нечётная.