Упр.1.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   1) $$y=\left|1-3^{|x|}\right|$$;
   2) $$y=\frac{\left|1-3^{-x}\right|}{3^{|x|}-1}$$.

1. Рассмотрим функцию $$y=\left|1-3^{|x|}\right|.$$

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

   $$y=\left|1-3^x\right|.$$

   Так как $$3^x\ge 1,$$ то $$1-3^x\le 0,$$ и поэтому

   $$y=3^x-1.$$

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

   $$y=\left|1-3^{-x}\right|.$$

   Так как $$3^{-x}\ge 1,$$ то $$1-3^{-x}\le 0,$$ и поэтому

   $$y=3^{-x}-1=3^{|x|}-1.$$

   Следовательно,

   $$y=3^{|x|}-1.$$

   Это чётная функция, её график получается из графика $$y=3^x-1$$ отражением относительно оси $$Oy$$.

2. Рассмотрим функцию $$y=\dfrac{\left|1-3^{-x}\right|}{3^{|x|}-1}.$$

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и

   $$y=\dfrac{\left|1-3^{-x}\right|}{3^x-1}.$$

   Так как $$3^{-x}\le 1,$$ то $$1-3^{-x}\ge 0,$$ значит

   $$y=\dfrac{1-3^{-x}}{3^x-1}.$$

   Преобразуем числитель:

   $$1-3^{-x}=1-\dfrac1{3^x}=\dfrac{3^x-1}{3^x}.$$

   Тогда

   $$y=\dfrac{\frac{3^x-1}{3^x}}{3^x-1}=\dfrac1{3^x}=3^{-x}.$$

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

   $$y=\dfrac{\left|1-3^{-x}\right|}{3^{-x}-1}.$$

   Так как $$3^{-x}\ge 1,$$ то $$1-3^{-x}\le 0,$$ значит

   $$y=\dfrac{3^{-x}-1}{3^{-x}-1}=1.$$

   Итак,

   $$y= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3^{-x}, & x\ge 0. \end{cases}$$

   При $$x=0$$ знаменатель равен нулю, поэтому точка $$x=0$$ не входит в область определения. Следовательно,

   $$y= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3^{-x}, & x>0. \end{cases}$$

   График состоит из луча прямой $$y=1$$ при $$x<0$$ и ветви экспоненты $$y=3^{-x}$$ при $$x>0$$.

Ответ

1) $$y=3^{|x|}-1.$$

2) $$y= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3^{-x}, & x>0. \end{cases}$$