Упр.1.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Постройте график функции: 1) $$y=\left|2^{-\lvert x\rvert}-1\right|$$; 2) $$y=\frac{2^{\lvert x\rvert}-1}{\left|2^x-1\right|}$$.
Рассмотрим функцию $$y=\left|2^{- |x|}-1\right|.$$
Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит
$$2^{- |x|}=2^{-x}\le 1,$$
поэтому
$$y=1-2^{-x}=1-\left(\frac12\right)^x.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит
$$2^{- |x|}=2^x\le 1,$$
поэтому
$$y=1-2^x.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} 1-2^x, & x<0,\\ 1-\left(\frac12\right)^x, & x\ge 0. \end{cases}$$
График состоит из двух симметричных относительно оси $$Oy$$ ветвей, проходит через точку $$\left(0,0\right)$$ и при $$x\to \pm\infty$$ стремится к прямой $$y=1.$$
Рассмотрим функцию $$y=\dfrac{2^{|x|}-1}{|2^x-1|}.$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и $$2^x-1\ge 0,$$ поэтому
$$y=\frac{2^x-1}{2^x-1}=1,\qquad x\ne 0.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ а $$2^x-1<0,$$ значит
$$y=\frac{2^{-x}-1}{1-2^x}.$$
Так как $$2^{-x}=\dfrac1{2^x},$$ получаем
$$y=\frac{\frac1{2^x}-1}{1-2^x} =\frac{1-2^x}{2^x(1-2^x)} =2^{-x}.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} 2^{-x}, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$$
При $$x=0$$ функция не определена. График: слева ветвь экспоненты $$y=2^{-x},$$ справа горизонтальный луч $$y=1,$$ в точке $$x=0$$ — разрыв.
Ответ
1) $$y= \begin{cases} 1-2^x, & x<0,\\ 1-\left(\frac12\right)^x, & x\ge 0; \end{cases}$$
2) $$y= \begin{cases} 2^{-x}, & x<0,\\ 1, & x>0, \end{cases}$$
$$x=0$$ не входит в область определения.
