Упр.1.36 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: 1) $$2^x>\sin(x)-1$$; 2) $$2^x>\arcsin(x)-\frac{\pi}{2}$$; 3) $$2^{\operatorname{ctg}(x)}>\cos(x)-1$$.

1. $$-1 \le \sin x \le 1,$$ значит

   $$\sin x — 1 \le 0.$$

   При этом

   $$2^x > 0$$

   при любом $$x \in \mathbb{R}$$. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел.

2. Область определения:

   $$-1 \le x \le 1,$$

   так как для $$\arcsin x$$ нужно, чтобы $$x \in [-1;1].$$

   Кроме того,

   $$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2},$$

   значит

   $$\arcsin x — \frac{\pi}{2} \le 0.$$

   Поскольку $$2^x > 0$$ при любом $$x$$, неравенство верно для всех $$x$$ из области определения.

3. $$-1 \le \cos x \le 1,$$ значит

   $$\cos x — 1 \le 0.$$

   Функция $$\ctg x$$ определена при

   $$x \ne \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$2^{\ctg x} > 0$$

   при всех допустимых $$x$$, а правая часть не превосходит нуля. Следовательно, неравенство выполняется при всех значениях $$x$$ из области определения.

Ответ

1) $$(-\infty; +\infty)$$;

2) $$[-1; 1]$$;

3) $$\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\}.$$