Упр.1.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) $$y=6^{\cos(x)}$$; 2) $$y=\left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos(x)|}+5$$.

1) $$y=6^{\cos x}$$

Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то показатель степени принимает значения от $$-1$$ до $$1$$. При основании $$6>1$$ функция $$6^t$$ возрастает, значит

$$6^{-1} \le 6^{\cos x} \le 6^1.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{6} \le y \le 6.$$

Наименьшее значение функции равно $$\frac{1}{6},$$ наибольшее — $$6.$$

2) $$y=\left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|}+5$$

Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$0 \le |\cos x| \le 1.$$

При основании $$0<\frac{1}{5}<1$$ функция $$\left(\frac{1}{5}\right)^t$$ убывает, поэтому

$$\left(\frac{1}{5}\right)^1 \le \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} \le \left(\frac{1}{5}\right)^0,$$

то есть

$$\frac{1}{5} \le \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} \le 1.$$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$$5\frac{1}{5} \le \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|}+5 \le 6.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$5\frac{1}{5},$$ наибольшее — $$6.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{6};\ 6.$$

2) $$5\frac{1}{5};\ 6.$$