Упр.1.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

1. 1) $$y=2^{|x|}$$; 3) $$y=\left|2^x-1\right|$$; 2) $$y=2^{|x|}+1$$; 4) $$y=\left|\frac{1}{2^x}-1\right|$$.

1. $$y=2^{|x|}$$

   Рассмотрим функцию $$y=2^x$$. При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, значит график справа от оси $$Oy$$ совпадает с графиком $$y=2^x$$. Левая часть получается отражением правой относительно оси $$Oy$$.

   Итак,

   $$y=2^{|x|}= \begin{cases} 2^x, & x \ge 0,\\ 2^{-x}, & x < 0. \end{cases}$$

2. $$y=2^{|x|}+1$$

   Это график функции $$y=2^{|x|}$$, сдвинутый на 1 единицу вверх.

   Следовательно,

   $$y=2^{|x|}+1= \begin{cases} 2^x+1, & x \ge 0,\\ 2^{-x}+1, & x < 0. \end{cases}$$

3. $$y=\lvert 2^x-1\rvert$$

   Сначала строим график $$y=2^x-1$$ — это график $$y=2^x$$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Затем часть графика, лежащую ниже оси $$Ox$$, отражаем относительно оси $$Ox$$.

   Так как $$2^x-1 \ge 0$$ при $$x \ge 0$$, получаем

   $$y=\lvert 2^x-1\rvert= \begin{cases} 2^x-1, & x \ge 0,\\ 1-2^x, & x < 0. \end{cases}$$

4. $$y=\left\lvert \frac{1}{2^x}-1 \right\rvert$$

   Заметим, что

   $$\frac{1}{2^x}=\left(\frac12\right)^x.$$

   Сначала строим график $$y=\left(\frac12\right)^x-1$$ — это график $$y=\left(\frac12\right)^x$$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Затем часть графика ниже оси $$Ox$$ отражаем относительно оси $$Ox$$.

   Так как $$\left(\frac12\right)^x-1 \ge 0$$ при $$x \le 0$$, имеем

   $$y=\left\lvert \frac{1}{2^x}-1 \right\rvert= \begin{cases} \left(\frac12\right)^x-1, & x \le 0,\\ 1-\left(\frac12\right)^x, & x > 0. \end{cases}$$

Ответ

$$1)\ y=2^{|x|};\quad 2)\ y=2^{|x|}+1;\quad 3)\ y=\lvert 2^x-1\rvert;\quad 4)\ y=\left\lvert \frac{1}{2^x}-1 \right\rvert.$$