Упр.1.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 5^(v8)/5^(v2)=5^(v2);
2) 4^(v3/2)·(1/8)^(v27)=(16^(v3))^(-2);
3) (12^(v48)·2^(4v12))/(4^(v108)·6^(v27))=6^(v3).

1. $$\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}}=5^{\sqrt{8}-\sqrt{2}}.$$
   Так как $$\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$ то
   $$5^{\sqrt{8}-\sqrt{2}}=5^{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}=5^{\sqrt{2}}.$$
   Равенство доказано.

2. $$4^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\left(\frac18\right)^{\sqrt{27}}=(16^{\sqrt{3}})^{-2}.$$
   Представим всё в виде степеней двойки:
   $$4=2^2,\quad \frac18=2^{-3},\quad 16=2^4,\quad \sqrt{27}=3\sqrt{3}.$$
   Тогда
   $$ 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\left(\frac18\right)^{\sqrt{27}} =(2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot(2^{-3})^{3\sqrt{3}} =2^{\sqrt{3}}\cdot 2^{-9\sqrt{3}} =2^{-8\sqrt{3}}. $$
   С другой стороны,
   $$ (16^{\sqrt{3}})^{-2}=\left((2^4)^{\sqrt{3}}\right)^{-2}=2^{4\sqrt{3}\cdot(-2)}=2^{-8\sqrt{3}}. $$
   Следовательно, равенство верно.

3. $$\frac{12^{\sqrt{48}}\cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}}\cdot 6^{\sqrt{27}}}=6^{\sqrt{3}}.$$
   Упростим показатели:
   $$\sqrt{48}=4\sqrt{3},\quad \sqrt{12}=2\sqrt{3},\quad \sqrt{108}=6\sqrt{3},\quad \sqrt{27}=3\sqrt{3}.$$
   Тогда
   $$ \frac{12^{4\sqrt{3}}\cdot 2^{8\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}}\cdot 6^{3\sqrt{3}}}. $$
   Разложим основания:
   $$12=2^2\cdot 3,\quad 4=2^2,\quad 6=2\cdot 3.$$
   Получаем
   $$ \frac{(2^2\cdot 3)^{4\sqrt{3}}\cdot 2^{8\sqrt{3}}}{(2^2)^{6\sqrt{3}}\cdot (2\cdot 3)^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}}\cdot 3^{4\sqrt{3}}\cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}}\cdot 2^{3\sqrt{3}}\cdot 3^{3\sqrt{3}}}. $$
   Тогда
   $$ \frac{2^{16\sqrt{3}}\cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{15\sqrt{3}}\cdot 3^{3\sqrt{3}}} =2^{\sqrt{3}}\cdot 3^{\sqrt{3}} =(2\cdot 3)^{\sqrt{3}} =6^{\sqrt{3}}. $$
   Равенство доказано.

Ответ

1) $$\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}}=5^{\sqrt{2}}$$
2) $$4^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\left(\frac18\right)^{\sqrt{27}}=(16^{\sqrt{3}})^{-2}$$
3) $$\frac{12^{\sqrt{48}}\cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}}\cdot 6^{\sqrt{27}}}=6^{\sqrt{3}}$$