Упр.1.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

На каком промежутке наибольшее значение функции $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$ равно 27, а наименьшее — $$\frac{1}{9}$$?

Рассмотрим функцию $$y=\left(\frac13\right)^x.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ она принимает заданные значения.

1) Наибольшее значение:

$$\left(\frac13\right)^x=27$$
$$3^{-x}=3^3$$
$$-x=3$$
$$x=-3$$

2) Наименьшее значение:

$$\left(\frac13\right)^x=\frac19$$
$$\left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^2$$
$$x=2$$

Так как функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, то наибольшее значение $$27$$ достигается при $$x=-3$$, а наименьшее значение $$\frac19$$ — при $$x=2$$. Значит, искомый промежуток:

$$[-3;2]$$

Ответ

$$[-3;2]$$