Упр.1.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 1.21. На каком промежутке наибольшее значение функции y=(1/3)^x равно 27, а наименьшее — 1/9?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\left(\frac13\right)^x.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ она принимает заданные значения.

1) Наибольшее значение:

$$ \left(\frac13\right)^x=27 $$
$$ 3^{-x}=3^3 $$
$$ -x=3 $$
$$ x=-3 $$

2) Наименьшее значение:

$$ \left(\frac13\right)^x=\frac19 $$
$$ \left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^2 $$
$$ x=2 $$

Так как функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, то наибольшее значение $$27$$ достигается при $$x=-3$$, а наименьшее значение $$\frac19$$ — при $$x=2$$. Значит, искомый промежуток:

$$ [-3;2] $$