Упр.1.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\frac{(a^{2\sqrt{6}}-1)(a^{\sqrt{6}}+a^{2\sqrt{6}}+a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}}-a^{\sqrt{6}}}$$;
2. $$\left((a^n+b^n)^2-(a^n-b^n)^2\right)^{\frac{1}{n}}$$.

1) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$\frac{(a^{2\sqrt6}-1)(a^{\sqrt6}+a^{2\sqrt6}+a^{3\sqrt6})}{a^{4\sqrt6}-a^{\sqrt6}} = \frac{(a^{\sqrt6}-1)(a^{\sqrt6}+1)\cdot a^{\sqrt6}(1+a^{\sqrt6}+a^{2\sqrt6})}{a^{\sqrt6}(a^{3\sqrt6}-1)}.$$

Сократим на $$a^{\sqrt6}$$ и используем формулу $$a^{3}-1=(a-1)(a^2+a+1)$$:

$$\frac{(a^{\sqrt6}-1)(a^{\sqrt6}+1)(1+a^{\sqrt6}+a^{2\sqrt6})}{a^{3\sqrt6}-1} = \frac{(a^{\sqrt6}+1)(a^{3\sqrt6}-1)}{a^{3\sqrt6}-1} = a^{\sqrt6}+1.$$

2) Раскроем скобки по формуле разности квадратов:

$$(a^n+b^n)^2-(a^n-b^n)^2 = (a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n})-(a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n}) = 4a^nb^n.$$

Тогда

$$\left((a^n+b^n)^2-(a^n-b^n)^2\right)^{\frac1n} = (4a^nb^n)^{\frac1n} = 4^{\frac1n}ab.$$

Ответ

1) $$a^{\sqrt6}+1$$

2) $$4^{\frac1n}ab$$