Упр.9.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 9.7. Проверьте, что функция F(x)=(x-2)/(3x-1) является первообразной функции f(x)=5/(3x-1)^2 на каждом из промежутков (-бесконечность; 1/3) и (1/3; +бесконечность), и запишите общий вид первообразных функции f на каждом из указанных промежутков.

Найдём производную функции $$F(x)=\frac{x-2}{3x-1}$$ по правилу производной частного:

$$
F'(x)=\frac{1\cdot(3x-1)-(x-2)\cdot 3}{(3x-1)^2}
$$

Упростим:

$$
F'(x)=\frac{3x-1-3x+6}{(3x-1)^2}=\frac{5}{(3x-1)^2}
$$

Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на тех промежутках, где она определена.

Область определения:

$$
3x-1\ne 0,\quad x\ne \frac13
$$

Следовательно, функция определена на промежутках $$(-\infty;\frac13)$$ и $$(\frac13;+\infty)$$.

Общий вид первообразной для функции $$f(x)=\frac{5}{(3x-1)^2}$$ на каждом из этих промежутков:

$$
F(x)=\frac{x-2}{3x-1}+C
$$

где $$C$$ — произвольная постоянная.

Ответ

Да, $$F(x)=\frac{x-2}{3x-1}$$ является первообразной функции $$f(x)=\frac{5}{(3x-1)^2}$$ на промежутках $$(-\infty;\frac13)$$ и $$(\frac13;+\infty)$$. Общий вид первообразных:

$$
F(x)=\frac{x-2}{3x-1}+C
$$