Упр.9.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 9.16. Докажите, что функции F_1(x)=sin^2(x) и F_2(x)=(-1/2)cos(2x) являются первообразными функции f(x)=sin(2x). При каком значении C верно равенство F_2(x)=F_1(x)+C?

Подробный ответ

Найдём производные данных функций:

$$F_1′(x)=(\sin^2 x)’=2\sin x\cos x=\sin 2x,$$

$$F_2′(x)=\left(-\frac12\cos 2x\right)’=-\frac12\cdot(-2\sin 2x)=\sin 2x.$$

Значит, обе функции являются первообразными функции $$f(x)=\sin 2x.$$

Так как любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную, то

$$F_2(x)=F_1(x)+C.$$

Найдём $$C$$, подставив, например, $$x=0$$:

$$F_1(0)=\sin^2 0=0,$$

$$F_2(0)=-\frac12\cos 0=-\frac12.$$

Тогда

$$-\frac12=0+C,$$