Упр.9.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=1/sin^2(x), I=(0; п), F(п/4)=0;
2) f(x)=1/vx, I=(0; +бесконечность), F(16)=10;
3) f(x)=1/x, I=(0; +бесконечность), F(1/e)=-2;
4) f(x)=2^x, I=(-бесконечность; +бесконечность), F(5)=1.

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}, \quad I=(0;\pi), \quad F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
Первообразная:
$$F(x)=-\ctg x+C.$$
Подставим точку $$x=\frac{\pi}{4}$$:
$$-\ctg\frac{\pi}{4}+C=0,$$
$$-1+C=0,$$
$$C=1.$$
Значит,
$$F(x)=-\ctg x+1.$$
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad I=(0;+\infty), \quad F(16)=10.$$
Первообразная:
$$F(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x}+C.$$
Подставим $$x=16$$:
$$2\sqrt{16}+C=10,$$
$$8+C=10,$$
$$C=2.$$
Следовательно,
$$F(x)=2\sqrt{x}+2.$$
$$f(x)=\frac{1}{x}, \quad I=(0;+\infty), \quad F\left(\frac{1}{e}\right)=-2.$$
Первообразная:
$$F(x)=\ln x+C.$$
Подставим $$x=\frac{1}{e}$$:
$$\ln\frac{1}{e}+C=-2,$$
$$-1+C=-2,$$
$$C=-1.$$
Тогда
$$F(x)=\ln x-1.$$
$$f(x)=2^x, \quad I=(-\infty;+\infty), \quad F(5)=1.$$
Первообразная:
$$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C.$$
Подставим $$x=5$$:
$$\frac{2^5}{\ln 2}+C=1,$$
$$\frac{32}{\ln 2}+C=1,$$
$$C=1-\frac{32}{\ln 2}.$$
Следовательно,
$$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+1-\frac{32}{\ln 2}=\frac{2^x+\ln 2-32}{\ln 2}.$$