Упр.9.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) F(x)=3x^2+x-2, f(x)=6x+1;
2) F(x)=x^(-4), f(x)=-4x^(-5) на промежутке (0; +бесконечность);
3) F(x)=sin(x)+3, f(x)=cos(x)+3;
4) F(x)=cos(2x), f(x)=-sin(2x);
5) F(x)=v(2x+1), f(x)=1/sqrt(2x+1) на промежутке (-1/2; +бесконечность);
6) F(x)=5^x, f(x)=5^x ln 5.

1. $$F(x)=3x^2+x-2$$
   $$F'(x)=6x+1$$
   Так как $$F'(x)=f(x)$$, то функция $$F$$ является первообразной функции $$f$$.
2. $$F(x)=x^{-4}$$
   $$F'(x)=-4x^{-5}$$
   На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ имеем $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F$$ — первообразная функции $$f$$.
3. $$F(x)=\sin x+3$$
   $$F'(x)=\cos x$$
   Но $$f(x)=\cos x+3$$, поэтому $$F'(x)\ne f(x)$$. Следовательно, $$F$$ не является первообразной функции $$f$$.
4. $$F(x)=\cos 2x$$
   $$F'(x)=-2\sin 2x$$
   А $$f(x)=-\sin 2x$$, значит, $$F'(x)\ne f(x)$$. Следовательно, $$F$$ не является первообразной функции $$f$$.
5. $$F(x)=\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}$$
   $$F'(x)=\frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$
   На промежутке $$\left(-\frac12;+\infty\right)$$ получаем $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F$$ — первообразная функции $$f$$.
6. $$F(x)=5^x$$
   $$F'(x)=5^x\ln 5$$
   Так как $$F'(x)=f(x)$$, то функция $$F$$ является первообразной функции $$f$$.

Ответ

1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) да.