Упр.8.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=e^(5x)+e^(-4x), x_0=0;
2) f(x)=e^(-x) tg(x), x_0=0;
3) f(x)=4^(x^2-3x-4), x_0=-1.

1. $$f(x)=e^{5x}+e^{-4x}$$
   Тогда
   $$f'(x)=5e^{5x}-4e^{-4x}.$$
   Подставим $$x_0=0$$:
   $$f'(0)=5e^0-4e^0=5-4=1.$$
2. $$f(x)=e^{-x}\tg x$$
   Найдём производную по правилу произведения:
   $$f'(x)=-e^{-x}\tg x+e^{-x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}.$$
   Подставим $$x_0=0$$:
   $$f'(0)=-e^0\cdot \tg 0+e^0\cdot \frac{1}{\cos^2 0}= -1\cdot 0+1\cdot \frac{1}{1^2}=1.$$
3. $$f(x)=4^{x^2-3x-4}$$
   Используем формулу производной показательной функции:
   $$f'(x)=4^{x^2-3x-4}\ln 4\cdot (2x-3).$$
   Подставим $$x_0=-1$$:
   $$f'(-1)=4^{(-1)^2-3(-1)-4}\ln 4\cdot (2\cdot (-1)-3).$$
   $$f'(-1)=4^{1+3-4}\ln 4\cdot (-5)=4^0\cdot \ln 4\cdot (-5)=-5\ln 4.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$; 3) $$-5\ln 4$$.